4-4 Spitzer. Über die Kriterien des Grössten und 



Im ersten Falle, wo V=f (x, y, y') und nicht zugleich — - = 



ist, wird die Differential-Gleichung, die zur Bestimmung von y dient, 

 von der zweiten Ordnung sein; die in dem Integrale eintretenden 

 zwei Constanten werden bestimmt, durch die den Grenzen x x und 

 x 2 entsprechenden Werthe von y x und y z . Alsdann lassen sich die 

 Glieder der zweiten Ordnung der T a y 1 o r'schen Reihe auf die Form 

 bringen : 



v w~ 



+ / — O' + X w)* d x. 



Im zweitenFalle, wo V=v>{x,y)-\-y' ^ Cv t y) und nicht zugleich 

 8 2 F / 8 2 FV . _ A . 



—— = I ist, hat man zur Bestimmung von y eine ganz gewöhn- 



liehe Gleichung, und die Glieder der zweiten Ordnung sind dann 

 darstellbar unter der Form: 



( t f\ r\( r ~ v \ ** v \ ■ 1 



{ v w~ ) -4- / < — — -) w* d x ; 



endlich im dritten Falle, wo V = y <p (x) -f- \jp (x, y)~\' ist, gibt 

 es gar keinen Werth für y, welcher 



zu einem Maximum oder Minimum macht ; denn die Gleichung, welche 

 zur Bestimmung von y dient, nämlich 



dy \ hy' ) 



wird hier 



<p (.r) = 



und daraus lässt sich natürlich nicht y als Function von x bestimmen. 

 Wäre aber y (.r) identisch Null, mit andern Worten, wäre 



V= W(x,y)y, 



so hätte many Ydx = ty (#» y) , und jener Werth von y, welcher 

 U=ip(x,y) zu einein Maximum oder Minimum macht, ergibt sich aus 



dy 



