Kleinsten hei den Problemen der Variationsrechnung. 45 



und entspricht wirklich einem Maximum oder Minimum von U, wenn 



— -— - , für den aus — — = gefundenen Werth von y, 



8»/ 2 9y J 



8 a tp(a;,u) 



negativ oder positiv ist. — Da — - — nach der Substitution des 



gefundenen Werthes von y im Allgemeinen eine Function von x ist, 

 so muss, auf dass die Frage eine ganz bestimmte wird, ein specieller 

 Werth von x gegeben sein. 



8 2 t|/(.T,y) 



Wie die Untersuchung dann zu führen sei, wenn — = 



8# 2 



wäre, kann, als hinlänglich bekannt, übergangen werden. 



§.15. 

 Es sei 



V = tf, (x, y, y', y"). 



Hier betrachteten wir folgende drei specielle Fälle: 



8 3 F 

 1.") wenn = ist, 



2.) wenn nebst dieser Gleichung noch die Gleichung 



^^ 2 _JLL_fJ^Y =0 (66) 



stattfindet, endlich 



3.) wenn nebst den beiden angeführten Gleichungen noch die 



Gleichung 



8 3 V , 8 2 v y , / 8 2 v y ' _ 



Jy~* \dyBy'J ' \dyby" ) ' ^ ') 



besteht. 



Im ersten Falle hat Fdie Form 



v = fi O» y> y) + y" ft O» y> y')- 



Um die Form der Function V im zweiten Falle zu bestimmen, 

 setzen wir, uns wieder der Methode der unbestimmten Coefficienten 

 bedienend 



f t &,y,y>) = ft + ft y' + ft y'> + ft y'* + ft y'* + . . . 

 £ (*.y.y) = A + D t y + D a y'* + D 3 */' 3 + A y'* + . • • 



unter C , ft, ft, ft, ft . . . D , Di, D 2 , D 3 , D 4 . . . Functionen von 

 a? und 3/ verstanden, demnach ist: 



v= (ft + ft ?/ + ft y 3 4- ft y' 3 + ft y' 4 + • • •) + 



+ y" (D + D, *,' + D 3 */' 2 + D 3 tfi + D 4 y'* + . . .) 



