Kleinsten bei den Problemen der Variationsrechnung. 47 



Gehen wir endlich zum dritten speciellen Fall über, und suchen 

 wir, was aus dem eben gefundenen Fwird, wenn 



^„(iüV + füLV'^O (67) 



ist. Wir haben 



*!_* + , **+**_ + ** j + ** r 



8*/ a 8y 3 ~ J 8*/ s ~ 8.r8«/ 2 ~ 8>/ 3 * ^ 8*t8j/' * 



Vs^/BW (8x8»/ By a l/ ^S-rS*/ 2 ^ 8«/ 3 J ^ 8</ 2 8</' J 

 8 3 <J/ ,„ 8*^ 8*£ , 8*']/ 

 S» 8i/' 2 ^ ~*~ 8a- 2 8*/ 8»/' ~*~ 8.r8«/ 2 8?/' ^ ~"~ sTsTV 3 ^ 

 8*<P , 8*'^ , 8*'^ 

 8#° 8«/ 8«/" 8y a 8»/ 8;/ 3 

 / 8 3 F v" 8 3 £ „ 8 3 -i/ ,„ ZH , _ 8*tf> , „ 



I 1 = — — v H — v H h 2 - — y + 



Uyby") %y z %y' cyby'* J * 8a 2 81/ 81/' 8x 8i/ 2 8i/' ^ 



, o 8 ** « . 8 ^ /, , o ^ < « . 8 ** "■> 



+ 2 -8T^^2/ +-^7^ +2 ^8^^ + W^ 



Addirt man diese drei Gleichungen, so erhält man: 

 Q _8 3 y 8 2 ?1 

 81/ 2 8x8?/ 



woraus 



8# ex 



folgt. Diese Gleichung vertritt die Stelle der Gleichung (67), denn 

 sie ist die unmittelbare Folge derselben. Setzen wir nun 



f (jv, y) = E 4- E t y + E z iß + F 3 y* + E, y* + . . . 

 r , Gf, y) = F + Fi # + F, y* +F 3 ys + F iy *+ ... 



unter £" , E y , E z , E 3 . E % . . . F , F u F z , F s , F 4 . . . Functionen von 

 x verstanden, so ist: 



£ = E x + 2E Z y + 3£ 3 y« + 4ft </ 3 + • • • 



^ = F ' + *V 2/ + FJ y* + F 3 ' jfi + IV y* + . . . 



und folglich: 



E t — F ' = F (x) 



2 E., = F t ' 



3 £ 3 = F,' 

 4E, = F 3 ' 



