48 Spitzer. Über die Kriterien des Grössten und 



Es ist demnach: 



V=E + (F f + Fiaf)) y + ^y + £^ y .+ ?i. f * + ... 

 + 2/' (F. + F t y-\- F z y* + F 3 y* + F 4 y* + . . .) + 



+ [* (*. f. 30]' 



oder 



V=E + yF(x) + W 2/ + ^-y» + -5. ya + ^L y * + . . .y + 



+ [* (*. * </')]' 



was sich auch in folgender Form niederschreiben lässt: 



V=y F(x~) + [fc (*, y)]' + [fc (*. * */')]' 



wo F, ip! , ^ 2 willkürliche Functionen bedeuten. 



F lässt sich also jederzeit betrachten unter einer der vier folgen- 

 den Formen: 



V = y (jü, y, y', y") 



V = <p (x, y, y') + y" ty (a?, y, i/') 



f = ? O» y) + 2/' \ O. y) + [x O* y> y')J 



V = y f (*) + [> (ar, y)]' + [ X (*. 2/, 2/')]'. 



Im ersten Falle, wo V = f (a*, ?/, ?/, ?/") und nicht zugleich 



8 2 F 



= ist, wird die Differential-Gleichung, die zur Bestimmung 



by" 2 



von y dient, von der vierten Ordnung, die in dem Integrale der 

 Differential-Gleichung eintretenden vier Constanten werden bestimmt, 

 durch die den Grenzen a?j und a? a entsprechenden Werthe von y t , 

 y z und y x \ y.,' , und die Glieder der zweiten Ordnung lassen sich 

 auf folgende Form bringen : 



\v tv z -J- 2 Vi w w' -f- v 2 iv'~ > -f- / — — (w" -fhp'-f (ji «#) 2 </#. 



Im zweiten Falle, wo V= f (a?, ?/, ?/') -f- ?/" ^ (a?, y, y') und nicht 



8 2 K ü-V ( 8 2 r \' 



zuoleich 2 I | = ist, wird die Differential- 



b 8#' 2 lißu" y-hy'ty") 



Gleichung, die zur Bestimmung von y dient, von der zweiten 

 Ordnung; die in dem Integrale der Differential-Gleichung eintretenden 

 zwei Constanten werden bestimmt, durch die den Abscissen &\ und .r 3 



