Kleinsten bei den Problemen der Variationsrechnung. 40 



entsprechenden Ordinaten y t und y>. Die Glieder zweiter Ordnung 

 lassen sich in diesem Falle so transformiren: 



\ v w* + 2 v { w w -\- v-> iv z > -(- 



2 — ( ^-) 1 (V + A wY dx. 



x> 



A 



&V 8 a F , &V 



Im dritten Falle, wo V= f (x, y)-\- y'$ (x, y) -f- \_x (&> 2/' 2/ )]' 

 und nicht zugleich — - — — - — + t-ttt; I = " ist, hat man zur 

 Bestimmung von y eine ganz gewöhnliche Gleichung, und für die 

 Glieder der zweiten Ordnung folgenden Ausdruck: 



Endlich im vierten Falle, wo V = y f (x) -f- [^ (a?, 2/)]' -f- 

 -f- [% (o?, i/, y')~\ ist, gibt es gar keinen Werth für y, welcher 



x s 



u = f \ y ? G< ° + [ * ( * f y)y + ix{x ' y ' ylJ ! dx 



x t 



zu einem Maximum oder Minimum macht, denn die Gleichung, welche 

 zur Bestimmung von y dient, nämlich 



81/ V8(/V ' V8i/"J 



wird hier 



y (x) = 



und daraus kann offenbar nicht y als Function von x bestimmt werden. 

 Wäre aber <p (x) identisch Null, mit anderen Worten wäre 



r=[>Ov30]' + [x(*>y>y'W 



so hätte man / Vdx = <p (*r, 2/) + X (^ 2/' 2/') un ^ jener Werth 

 von y, welcher 



U=i> (x, 2/) + X O» 2/> 2/') 



zu einem Maximum oder Minimum macht, ergäbe sich auf folgende 

 Weise. 



Man denke sich diese Function bereits gefunden; sie sei 

 y — f (x). Durch eine sehr kleine Veränderung dieser Function 



Sitzb. d. mathem.-naturw. Cl. XIV. Bd. I. Hft. 4 



