Kleinsten bei den Problemen der Variationsrechnung. Jj | 



§. 16. 



Ist 



V=f O y, y', y", y"), 



so treten folgende specielle Fälle ein: 



d z V 



1. wenn = ist, 



2. wenn nebst dieser Gleichung noch folgende Gleichung stattfindet : 



^_2- 8 ^_f^-V = 0, 



3. wenn nebst diesen beiden Gleichungen noch 



9y 2 8»/ 8*/" V8y8y"V W Sy^ W8#'"J 



ist, und endlich 



4. wenn nebst den drei hier angeführten Gleichungen noch die 

 Gleichung 



8*/ 3 V 8i/ 8//' J ^ *% 8*/" J V 8*/ V" ' 



stattfindet. 



Von der Analogie geleitet, schliessen wir auf folgende in diesen 

 speciellen Fällen dem Fder Reihe nach zukommenden Formen: 



1. .V = f (x,y,y',y") + y" ty (x,y,y',y") 



2. V= f (x, y, y) + y" ']> (x, y, y') + \x {?, y, y, y")]' 



3. V= <p <jc,y) + y' $ (x, y) -f [& (ar, 2/, ?/')]' + 



+ fo O* y. tf. y")J 



An der Richtigkeit der ersten Form zweifeln wir keinen Augen- 

 blick, um uns aber von der Richtigkeit der zweiten zu überzeugen, 

 bilden wir den Ausdruck 



d*V &V , b z V y 



~8^ ~~ dy'ty" ~ \By"dy'") ' 



Da 



V=f O, y, y') -f y" <p (x, y, y) -f [ X (x, y, y', y")J 



4* 



