Kleinsten bei den Problemen der Variationsreebnung-. £}£J 



In dem zweiten speciellen Falle, wo 

 V= <p (x, y, y') 4- y"']> (#,y,y') + [x O» V> y'> y")l 

 und nicht zugleich 



?L _ 2 .-ÜL- + 3 ÄV- f JÜLV+ rJülV '_ o 



ist, hat man zur Bestimmung von?/ eine Differential-Gleichung zweiter 

 Ordnung und zur Bestimmung der Constanten die den Abscissen x f 

 und x z entsprechenden Ordinaten y t und y % . Es lassen sich da die 

 Glieder der zweiten Ordnung so schreiben: 



< pw 2 4- i?i w?' a 4- Ugw" 2 4- 2y 3 w?ü'-j- 2»iW«j" 4- 2v 5 iv'w"> 4- 



+ a1üi_ 2 _ü!l +8 fJüLy_(jüL)' + fjüLy'i ( ; + 



4- Ast?) 2 rfa?. 

 Was den dritten speciellen Fall anbelangt, wo nämlich 

 r= p f>, y) -I- y'ty (x, y) 4- [x, (> f y. #')]' + [> a (x,y,y',y")J 



ist, und nicht zugleich — | 4- — — j = ; 



& 8i/ 3 \ByWJ v 8*/8;/' ; vs^'"/ 



da erscheint für ?/ eine ganz gewöhnliche Gleichung, und für die 

 Glieder der zweiten Ordnung folgender Ausdruck: 



% % 

 v >r~ 4- ?'i w' % 4- » 2 w" 3 4- 2«p 3 ido' 4- 2» 4 «?«j" 4- 2i? 5 ww" > 4- 



V L"V " " VW") + lW"J "" ^ w 77 J J wdx \ 

 endlich im letzten Falle, wo 

 V= y ff O) + [/, (x, y)]' 4- [& (>, y, #')' + [x 3 O, ?/, 2/', y")J 



zu einem 



ist, gibt es gar keinen Werth für ?/, welcher f/= / Tr/.r 



Maximum oder Minimum macht, denn die Gleichung, welche zur 

 Bestimmung von y dient, nämlich 



