Kleinsten bei den Problemen der Variationsrechnung. J)7 



§. 17. 



Wir gehen nun zu dem Probleme der Variationsrechnung über, 

 wo wieder 



U= fvdx 



ist, Faber eine Function von 



x, y, y', y" • • • y { "\ «, *'. »" • • • ^ ( "° 



und suchen jetzt für y und z solche Functionen von x , welche U zu 

 einem Maximum oder Minimum machen. 



Die Lösung dieses Problems führt zu Rechnungen, welche die 

 grösste Analogie haben, mit den von uns bis jetzt geführten, wir 

 wollen trachten, diese Analogie ins hellste Licht zu setzen. — Denken 

 wir uns also y und z bereits gefunden, und zwar sei y = <p (x), 

 z = ip (,r). Durch eine sehr kleine Veränderung dieser Functionen 

 nehme die sie repräsentirende Curve eine andere , von der früheren 

 sehr wenig verschiedene Gestalt an; gehe nämlich y über in y -f- oy, 

 z in z-\- dz, wo oy und dz sehr kleine von x abhängige Grössen vor- 

 stellen, so gehen dadurch 



y über in y' -\- dy' %' über in z' + dz' 



y" m „ y" + dy" z" „ „ z" + dz" 



2/ w über int/^-f- % (k) Zauber mz^-\- o^" 



und ^7 in ^ , Fin V ± . 



Entwickelt man nun Fi nach der Taylor'schen Reihe, so 

 hat man: 



r, _ K+ !I* + iE V + »T V + .. . . +-iLoy> + 



1 9y J ~ dy' J ~ by" J ^ n byOO J 



CZ CZ OZ OZ'- ' 



wo R der Kürze halber statt der zweiten und höheren Ordnung der 

 Taylor'schen Reihe gesetzt ist. Es ist daher: 



X t X\ 



