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I) Z Spitzer. Über die Kriterien des (irössten und 



und dies muss stets sein Zeichen beibehalten, wenn U ein Maximum 

 oder Minimum sein soll. 



§• 19- 



Die Glieder der zweiten Ordnung lassen sich noch auf eine 

 andere Weise transformiren, die analog ist, der von Legendre 

 gezeigten 1 ); wir wollen diese Transformation in zwei speciellen 

 Fällen bewerkstelligen, nämlich wenn V=f (;r, y, y', z, z) und wenn 

 V=f (x, y, y, y", z, z, z") ist. 



Im ersten Falle setze man 



8 3 F 8 3 F 8 2 F b z V 8 3 F 8 3 F 



-r—r- W z +— — W z -\--r-r- U % -\ — U ri -+- 2 , ww'-\-2 WU-\- 



8»/ a ' 8i/' 3 r 8a 3 ' 8a' 3 ' hj by' ' 8»/8a ' 



h 2 V 8 3 F 8 3 F 8 3 F 



+2—— w u' + 2 — — w' « -4- 2 — ■ — - w'id 4- 2 — — — u u = 

 1 8*/ 8a' ' 8y'8a ' 8/8*' 8s, 8«' 



8 3 F 

 = (v w 3 -\- 2 », «> /< -f v, u z )'-\ ^(«"+ ^i w -f ^2 «'+ ^s «) 3 + 



-fL (w -f fr w + f*a «) a 



und bestimme v, v ± , v z , X,, X 3 , X 3 , ^ t , juu so, dass dieser Gleichung 

 identisch Genüge geschieht. 



Führen wir zuerst der Bequemlichkeit halber folgende Ab- 

 kürzungen ein: 



8// 2 8y 3 8ss a 8 a' 3 8j/8i/' 8i/8a 



8// da' 8/ 8a 8i/'8a' 8a 8a' 



und entwickeln dann den zweiten Theil der Gleichung (77), so 

 erhält man: 



w* (v' -f B X? -f L/4) -f IV* B -f- w a (iv + 5 Xf + L/xi) -f 

 + «'«(ÄXl-fL) + 2ww'(« + 5X i )H-2wm(u / 1 -|- j BX 1 X 3 + 

 + L /jtj /j.,) + 2«? ii' (v t + J? Xj X 3 -f- L/xi) + 2 u?' u (i>, -f- 

 + Z?X 3 ) -f 2 w' w' 2/ X, + 2 K u (v 2 -f #X 3 X 3 + L /ju). 



Durch Vergleichung dieses Ausdruckes mit dem ersten Theil der 

 Gleichung (77) wird man zu folgenden Relationen geführt : 



') Man sehe hierüber die Abhandlung von M a i u a r d i im 3. Bande von Tortolini's 

 Journal für Mathematik. 



