Kleinsten bei den Problemen der Variationsrecbnung. ßQ 



§• 21. 



Nach diesen Vorbereitungen wenden wir uns an die ausführ- 

 liche Untersuchung des speciellen Falles, wenn 



V = f (x, y, y', z, z') 

 ist. 



Die Glieder der zweiten Ordnung lassen sich auf folgende drei 

 verschiedene Weisen darstellen: 



I\ä w* -f B w'* + CiP + D u'* + 2 Ew iv' + 2 F«? w + 2 G w « 



+ 2 #V ?< -f 2 /«?' w' + 2 /Tu m') </# 

 ( dW , 81F)* 3 r X2 ( r 8lF /3W\'i , r8t^ fSWYl) , 



{ vw 2 -(- 2 y t wm -f- v z iP } + f B (w' -\-X l w-\- X 3 u' -j- X 3 ii) 2 dce -\- 



,*t , , . (90) 



die mit einander identisch sind. Die in (89) vorkommende Grösse W 

 ist gleich : 



9 F 8F hV dV 



TT7" N I *V f I N I Nf 



3y 9^ 8* ' 8*' 



und die in (90) vorkommenden Grössen v, v t , v z , X 4 , X 2 ,X 3 , p-i , /jl 2 Z/ 

 haben zu genügen, folgenden Gleichungen: 



X -- 



3 ~ B (78) 



BD—P 

 Li = 



BD—P • 

 J = y + 5Xt H # 



ß/)— i 2 „ 



C = V + £X~ + — $ $ 



E = v + 5X t (79) 



, , ß/)— / 2 



F = tV + 5X, X 3 + — — fi t p. 



ßD-/ 2 



G = f + /x t h — /a, 



# = ri + #x 3 



5D-i 2 

 K = v 2 -f /X 3 H — ja. 



