80 Spitzer. Über die Kriterien des Grössten und 



Substituirt man die gefundenen Werthe für M lf M 2 , M 3 , M k , M b 



in die Gleichungen (99), so sieht man, dass \, X s , p. t , ju. 2 blos sechs 



Constante enthalten, welche aber nicht ganz willkürlich sind, da 



zwischen ihnen folgende zwei Gleichungen bestehen: 



C\ C 6 — C z C 5 + C, C 4 - 



M x (H— G) + BM, + / (M 3 — 31,) + DM, = 0. 



Da man ferner durch irgend ein C Zähler und Nenner dividiren 

 kann, so haben die gewonnenen Ausdrücke die erforderliche und hin- 

 reichende Allgemeinheit. 



Man hat somit: 



X-. 



f(Aw* + Bw* + C« 2 -f Du*-\- 2Eivw' + 2Fwu + 2GW+ 



Xi X 2 



-\-%Hw u -f- 21 w' n -f- 2Kuu) dx = Ivw 2 -j- 2^ uw -{- y 2 w 2 [ + 

 -f /# (V-f ^w-f-^ u-\-\ 3 ii)~dx-\-\ — (\i-\-\k x w-\-\^.ii) % dx. 



X x Xi 



Die Kriterien sind daher folgende: 



Die zweiten Differential-Quotienten von V dürfen innerhalb der 

 Integrations-Grenzen nicht durch unendlich gehen, ferner müssen B 



und für alle Werthe von x = x x bis x = x z stets das- 



B 



selbe Zeichen beibehalten; endlich müssen noch die drei, in der 

 Rechnung eintretenden willkürlichen Constanten so gewählt werden 

 können, dass für keinen zwischen x t und x ä liegenden Werth von x 

 der gemeinschaftliche Nenner von Xt,^,/*,, juu gleich Null wird. 



Findet alles dieses Statt, und lassen sich für die drei Constanten 

 solche Werthe ausfindig machen, durch die es unmöglich wird, dass 

 der Nenner von X,, 1 3 , \x x und /ju innerhalb der Integrations-Grenzen 

 gleich Null wird, so kann man, wenn für die Grenzwerthe w = 

 und u = ist 1 )» die Glieder der zweiten Ordnung so schreiben: 



sc 



!■ 



/'u 1 1 72 

 (u'-^-fa v)-\-y* u)~dx 



*) Diese Bedingungen finden Statt, wenn man die in y = f (x, a t , a 2 , « 3 , a 4 ) 

 s = $ (.!', a L , n 2 , a 3 , a 4 ) einlretenden Constanten so wählt, dass dem x = x t 

 die bestimmten Werthe y = y l und z == , s 1 und dem .t = ,r 2 die bestimmten Werthe 

 y = y-i und » = z 2 entsprechen. 



