Kleinsten bei den Problemen der Variationsrechnung - . 99 



und alle diese Werthe müssen den zwei Gleichungen: 



Ä = V + Z?X; + 7> (1J7) 



C = v'.. + B XI + P/x a 



identisch genügen. 



Wir werden nun, um diese Identität nachzuweisen, statt v und 

 Vo ihre Werthe einführen, und haben: 



A=* E' — B"k i —B'X i +BT[+ —(F — v\—B X, X 3 ) 

 6' = TT — J' X 3 — / X' 3 + 5 X| + p (F— v' t —Bl, X 3 ), 

 oder, wenn wir auch statt »j seinen Werth setzen: 



A = E —B X, — Zf X', + £ X; -f - (F — G — 7' X, -f 



p- 



-f /X,' — B\\) 

 C = A" — /' X 3 — 7 X' 3 + B 11 + [j.(F—ff + JT X 3 -f 



+ ß v — ^ x, x 3 ). 



Diese Gleichungen lassen sich nun so ordnen: 



- V (i? a -f 1/3) — X, (B a + /' j3) + B X, (X, « + X 3 ß) + 



+ a (E 1 — Ä) + ß (G' — F) = 



— V (B « + 7/3) — X 3 (7i' a + 7' ß) + B X 3 (X, « + X 3 ß) + 



+ « (77' — F) + j3 (K 1 — C)=0. 



Es ist aber: 

 , = /9 (fl' - G') + ,3' (H + i' - G) + ft" I + B' a' + B a" _ 



1 fi« + J/8 



fia'l 7,3' + ß' a + /'/? 



1 B a + I ß 



_ " (£' -#) + a' (G + l 1 — H) + a" 1 + D'ß' + Dß' , 

 3 ' Ba -\- Iß 



B a! + / /S' + B' a + /' ,3 



X, 



Ba + Iß 

 X t « -f- X 3 |3 == — «' — X a ß' ; 



folglich, wenn wir diese Werthe einführen und gehörig reduciren: 



cc(E' — A) +B 1 cc 1 + Bx' + ß(H'-F) + ß' (77+ 7' — G) + 



+ ß"7=0 

 « (G — F) + a' (G + 7' — 77) + a" 7 -f (TT' — C) + 7>' ß' + 



+ 7) ß" = 



