Kleinsten bei den Problemen der Variationsrechnung-. 101 



folgt : 



V = cc + y' f («) + z ^ («) 



unter 9 und •} willkürlichen Functionen verstanden, und für a eine 

 Grösse, die aus der Gleichung 



1 + */' <p'0) + z'f («) = (118) 



zu ziehen ist. Man sieht auch leicht ein, dass man derselhen partiellen 

 Differential-Gleichung genügt, für : 



V — « + y 5P O) + *' "^ («) + /i (*» 2/' *) + ^' /* G r > 0. *) + 



unter a den früheren Werth und unter f u f z , f 3 willkürliche Functions- 

 formen verstanden. Denn man hat: 



8r 8a i r ~\ i ' > r \ 8a i ' vi ^ 8a i r f \ 



und wenn man die Gleichung (118) zu Hülfe ruft 



oV 



— = <p (ei) -\- f z (x, y, z). 



eben so ist auch 



oV 



— = <p(ec) +/i (x,#, «). 



GZ 



Ferner hat man : 



8 3 F 3« 



— - =9 («) — - 



= 9 (a) — =9 (ä) — 



3.y' 8*' r y J 3*' r y hj' 



8*F 3a 



- — = 9 ( a. ) — ■ , 



8*.' 3 r V ' dz' 



also ist wirklich 



3?/- 8* /a Vei/'S* 



3 2 F 83 F r W v 



I — I =o. 



V8y'8%V 



§. 25. 



Wir haben bisher jene speciellen Fälle behandelt, wo eine der 

 drei Grössen 



B. D, BD — P 



