Kleinsten liei den Problemen der Variationsrechnung - . 



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Erstens, es muss die Constante — — = m so gewählt werden 



können, dass weder a noch ß für zwischen x t und x % liegende 

 Werthe von x gleich Null wird. 



Zweitens, hat man m so gewählt, so muss P und B für alle 

 zwischen x t und x z liegenden Werthe noch gleichbezeichnet sein. 

 Sind dann beide positiv, so hat man, wenn für die Grenzen w und u 

 gleich Null sind, ein Minimum, sind sie aber beide negativ, ein Maxi- 

 mum. Sollten B und / gleich Null sein, so lässt sich natürlich die 

 Analyse auf ganz analoge Weise führen. 



§. 27. 



Jetzt betrachten wir den Fall, wo 



B = 0, D = 0, 1 = 



ist, wo also Fdie Form hat: 



V*= f t (x, y, z) + y'f z (x, y, z) -f s> 3 (x, y, z). 



Obwohl dies ein specieller Fall der früher betrachteten Fälle 

 ist, sind wir doch genöthigt die Untersuchung von vorn zu beginnen, 

 denn wollten wir etwa in dem zuletzt behandelten Falle, wo D = 0, 

 1 = ist, auch B = annehmen, so würden A 4 , A 3 , P Brüche wer- 

 den, deren Nenner Null sind, d. h. Xj , A 3 , P sind entweder unendlich 

 oder unbestimmt. Die Analyse deutet damit an, dass die Transforma- 

 tion der Glieder der zweiten Ordnung auf eine andere Art bewerk- 

 stelligt werden muss. Wir setzen also, genau so wie im §. 25 vor- 

 gehend : 



A w 2 + Cu* + 2E w w' + 2 Fw u + 2 G w u' -f 2 Hw «+2 Ku u = 

 = (vw* -}- 2r, w u -j- y 3 m 8 )' + P(»' + *i m> + *a u' + ^3 w) 3 + 



+ Q (*>' + p-i w + \ u ~ u ' 4- , a s '0 2 



und haben dadurch : 



A = v' + PX?-f CV; 



C = tb' + PA1+ ort 



Ä=u + PA, + Qim 



F=v A -f />A,A 3 + Qfrfr 



G = o, -f P X, L -f (> p, fx 8 



