Kleinsten bei den Problemen der Variationsrechnung. 113 



Die zwei Gleichungen (94) sind hier 



u' (H — G) + w (E' — Ä) + u (H' — F) = 



w' (£ — #) + u (K —Ü)-\- w {G 1 —F) = 0, (128) 



verbindet man mit denselben noch die Gleichung 



w" (G—H) -f u' (K —C) + w'(2G'— F—H')-\-u (K " — C )-f- 

 -\-w(G" — F') = 



und eliminirt man aus allen dreien u und ii , so erhält man eine 

 Gleichung in w, die von der zweiten Ordnung ist, falls nicht K — C=0 

 oder G — H = ist. Setzt man die beiden letzten Fälle nicht vor- 

 aus, so sind die Integrale der Gleichungen (128) von der Form: 



8y 8« 



w = c . — -f C 2 — 



oa i 8« 2 



„ 8s 8« 



u = Ci — -j- C z - ; 



Offj 0«2 



wir wollen dieselben mit a und ß bezeichnen. Setzen wir nun : 



«' -f Xj a -f- A, ß' = 



«' + X 2 |3 + p, i3 = 0, (129) 



so haben wir, wenn wir diese Gleichungen mit den fünf letzten 

 Gleichungen (127) verbinden 



Vi = JF dx 



A, = 



*ß(H-v t ) 



1 =--.° 



ß H-v, 



«ß'CG-vJ-a'ßtH-vJ 



r*3 — — 



P = 



ßHH-v.y 



x'ß(H—v)—o>ß> (G — Vj) 



v = E + -(H— vA 



a 



v 2 =K+j(G- Vl ). 



Wir behaupten nun, dass dies die richtigen Werthe für \,l z ,ix 3 ,P, 

 v, v 1 ,v z s'mä, nämlich sie haben die Eigenschaft den Gleichungen 



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