Kleinsten bei den Problemen der Variationsrechnung 1 . 1 I 15 



somit ist 



V = f (x, y, z) + [^ {x, y, «)]'. 



Die Werthe von y und z, welche U zu einem Grössten oder 



Kleinsten nvachen, ergeben sich hier aus den beiden gewöhnlichen 



Gleichungen : 



8? 0*% y. *) _ 3? (•?> y, ») _ 

 hy 8* 



Die Folge hiervon ist, dass man hier blos die Abscissen der 

 Endpunkte willkürlich annehmen kann, nicht aber eine oder beide 

 ihrer andern Coordinaten, wie wir es in den früheren Fallen thun 

 konnten , wo uns die Wahl der zwei Constanten a A und « 3 oder 

 gar die Wahl der vier Constanten a t , a», a 3 , « 4 zur beliebigen Ver- 

 fügung stand. 



Wir setzen hier: 

 A w* + Cu* + 2E w w' -\-2Fwu + 2G w u' + 2G w' u -\-2Kuu!= 

 (v w* -f 2 Vi iv u -f v., u*)! + P (w + A u)* -f- Q u z 



und folgern daraus 



A = v' + P 



C = v% > + p 1* + Q 



E = v 



Es ist also: 

 f{Aw* + Cu*+2Eww'+2 Fwu+2 GW +2 Gw'u+2Kuu') dx — 



j -j-JEw ^ 2 G io u + /iV'J + f (A — E) (w + j~ u }~dx -f- 



■/ ! 



'(A - F') (C -g)- (F- G>y 

 - I - A-E< " ^ 



