die Auflösung- von Buchstabeng-leichungen betreffend. 209 



solches Discutiren lässt sich, der Natur der Sache nach, nicht mit 

 einem einzigen Schlage vollenden, sondern zerfällt in eine Anzahl 

 von Partialuntersuchungen, und zwar in eine um so grössere Anzahl, 

 je mehr verschiedene Eigenschaften zu erörtern sind, je complicirter 

 das Problem ist. Es genügt desshalb nicht, die Wurzeln einer 

 Gleichung in einer einzigen Form darzustellen, sondern man ist 

 genöthigt, sie sich in mehreren verschiedenen Formen zu verschaffen, 

 weil eine jede einzelne Form nur eine einzige Eigenschaft aufzuklären 

 vermag und über alle übrigen Eigenschaften gar keinen Aufschluss 

 gibt. Nur in den allereinfachsten Fällen genügt es, die Wurzel in 

 einer einzigen Form zu besitzen. 



In den hier erwähnten beiden Problemen sind die Genüge Ieisten- 

 denWerthe Functionen einer einzigen Grösse «; und die Auflösungs- 

 methode hat demnach alle wichtigen Eigenschaften solcher Functionen 

 aufzudecken. Man erreicht diesen Zweck folgendermassen : 



Erstens: Man entwickelt die Genüge leistenden Functionen 

 in Form einer absteigenden nach Potenzen von a geordneten Reihe 

 und erhält hierdurch über das Verhalten derselben für sehr grosse 

 Werthe von a Aufschluss, diese Form ist desshalb auch die assymp- 

 totische. 



Zweitens: Man eruirt alle jene endlichen Werthe von a, für 

 welche eine Unterbrechung der Stetigkeit eintritt. 



Drittens: Man entwickelt die Genüge leistenden Werthein 

 Reihenform, aufsteigend geordnet nach Potenzen einer Grösse: 

 a =a — oc, wo « eine ganz beliebige, aber bestimmte Zahl bedeutet. 

 Diese Entwickelungsweise ist jedoch vorzugsweise nur für jene Werthe 

 von cc einzuleiten, welche der Unterbrechung der Stetigkeit entsprechen. 

 Man gelangt dadurch zur Kenntniss aller Nenner und IrrationalgrÖssen, 

 die in den Genüge leistenden Functionen erscheinen und ist dadurch 

 oft im Stande, eine einfache geschlossene Form für dieselben aufzu- 

 finden. Die aufsteigende Entwickelung für andere Werthe von a, für 

 welche keine Unterbrechung der Stetigkeit stattfindet, ist jedoch von 

 sehr untergeordnetem Nutzen, denn sie liefert keine auffallende 

 Eigenschaft, weil bekanntlich jede Function in dem Bereiche der 

 Stetigkeit auf diese Form gebracht werden kann ; sie ist daher am 

 wenigsten geeignet eine Function zu charakterisiren. 



Wir haben hiermit ganz oft'en bekannt, dass die in Rede stehende 

 Auflösungsmethode vorzüglich auf Reihenentwickelungen basirt und 



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