J> | Petzval. Ülier Herrn Dr. Heger's Abhandlung 



dass geschlossene Formen nur nebenher gesucht werden, wenn die 

 eingeleiteten Entwicklungen auf solche hinweisen. Es steht zu 

 erwarten, dass dieses offene Geständniss bei den meisten Lesern, 

 statt als eine Anempfehlung dieser neuen Auflösungsmethode zu gelten, 

 gerade das Gegentheil bewirken dürfte. Die Mehrzahl der mathemati- 

 schen Welt sieht in Reihenentwickelungen Nichts, als ein unbequemes 

 Verfahren und entschliesst sich erst dann dazu, wenn geschlossene 

 Formen durchaus den Dienst versagen. Bei vielen Lesern mag sogar der 

 Zweifel rege werden, ob denn doch diese Auflösungsmethode etwas 

 Neues sei, denn bekanntlich ist man mittelst derTaylor'schen undMac- 

 Laurin'schen Reihe schon seit langer Zeit im Stande, explicite und impli- 

 cite Functionen aufsteigend zu entwickeln, und man weiss sehr gut, dass 

 diese Entwickelungsweise von keinem besondern Nutzen sei und über 

 die wichtigen Eigenschaften keinen Aufschluss ertheile, weil jede 

 stetige Function auf diese Form gebracht werden kann. Wir führen 

 diese Einwendungen hier absichtlich an, weil wir aus eigener Erfah- 

 rung wissen , dass dieses eine ziemlich verbreitete Meinung sei, und 

 sehen uns daher verpflichtet etwas näher darauf einzugehen. 



Vor Allem muss man einen Unterschied machen zwischen auf- 

 und absteigenden Reihenentwickelungen. Bisher war es nur mög- 

 lich, die Wurzeln einer Gleichung aufsteigend zu entwickeln; die 

 absteigende Entwickelung war bisher unbekannt. Die aufsteigende 

 Entwickelung liefert wohl keinen bedeutenden Aufschluss über die 

 Functionen; die absteigende Entwickelung hingegen lehrt eine sehr 

 wichtige Eigenschaft erkennen, weil sie über das Verhalten derselben 

 für sehr grosse Werthe der Variablen Aufschluss ertheilt. Die auf- 

 steigende Entwickelung war bisher nur für jene Fälle bekannt, in 

 welcher die Mac-Laurin'sche Formel Anwendung verstattet, und die 

 Geniige leistende Function in der Form erscheint: 



y 0) = h + h t (a—a) + h, (a— a) 3 -f . . . 

 aber nicht mehr für solche Werthe von cc, welche eine Unterbrechung 

 der Stetigkeit herbeiführen und demnach die Mac-Laurin'sche Formel 

 ausser Wirksamkeit setzen, weil dann auch Glieder mit Potenzen von 

 (a — a) aufzunehmen sind, welche negative und gebrochene Expo- 

 nenten besitzen. Die aufsteigende Entwickelung konnte bisher nur 

 für jene Fälle eingeleitet werden, welche keinen Aufschluss ertheilen, 

 während gerade die Ausuahmsfälle die grössere Wichtigkeit besitzen. 

 Hierzu war es aber einerseits nothwendig, diese speciellen Werthe 



