die Auflösung' von Buchstabengleichung'en betreffend. 21 



von a zu kennen, anderseits aber, für dieselben die aufsteigende 

 Reihenentwickelung durchzuführen. Beides gehörte bisber zu den 

 Unmöglichkeiten. Der früher erwähnte Vorwurf trifft dalier gerade 

 nur jene aufsteigenden Reibencntwickelungen, welche wir eben als 

 am wenigsten nutzbringend bezeichnet haben. Wir haben die volle 

 Überzeugung, dass diese Auf lösungsmethode nur allmählich sich 

 Geltung verschaffen werde, wenn über den eigentlichen Zweck der 

 Auflösung eine klare Vorstellung Platz gegriffen hat und man zur 

 Überzeugung wird gelangt sein, dass sie Alles leiste, was man ver- 

 nünftigerweise zu fordern berechtigt ist. 



Erstes Problem: Auflösung einer Gleichung mit 7A\ei Buchstabengrössen 



x und a. 



Die gegebene Gleichung denken wir uns in der Form: 



S[Ha"x r ] = 0, 



also ibren ersten Theil als ein Polynom, bestehend aus Gliedern von der 

 Form Ha a x x , wo H,a,X bestimmte Zahlwertbe bedeuten. Bekannt- 

 lich kann jede algebraische Gleicbung durch Wegschaffen der Irra- 

 tionalgrössen und Nenner auf diese Form gebracht werden, wobei 

 noch überdies die Exponenten a und x ganze positive Zahlenwerthe 

 besitzen. Die hier vorausgesetzte Form wird daher keinesweges die 

 Auf lösungsmethode auf ganze und rationale algebraische Gleichungen 

 beschränken, sondern allgemeine Anwendbarkeit besitzen auf wie 

 immer gestaltete algebraische Gleicbungen. Die Auflösung dieser 

 Gleichung wird, wie schon erwähnt worden, durch drei verschiedene 

 Untersuchungen bewerkstelligt, nämlich: 



1. Durch die absteigende nach Potenzen von a geordnete Ent- 

 wickelung von x. 



2. Durch die aufsteigende Enlwickelung von x nach Potenzen 

 einer beliebigen Grösse a — «= a geordnet. 



3. Durch Bestimmung aller jener Zahlenwerthe a, welche einer 

 Unterbrechung der Stetigkeit entsprechen. 



1. Absteigende Entwickelung von x. 



Man denke sich hier die Unbekannte o? = <p(fi) in der Gestalt: 



x = ? ( r = ^o ( t° -f - Äi,a& 4" Äo a'- 2 -j- . . . 



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