die Auflösung von Bachstabengleichungen betreffend. 213 



Meistenteils lässt sich das zur Bestimmung der Folgeglieder 

 dienende Verfahren ins Unendliche wiederholen , und man erhält 

 daher eine unendliche Reihe für x; nur selten bricht diese Reihe ab, 

 indem bei einem gewissen Folgegliede das Substitutions-Resultat den 

 Werth Null erhält, wodurch der Reweis geliefert ist, dass die erhal- 

 tenen Glieder die Wurzel x bereits vollständig zusammensetzen. 



Das erwähnte Verfahren besitzt nur so lange seine Gültigkeit, 

 als das Anfangsglied h a*° einer einzigen Wurzel x zukommt; 

 ist hingegen dasselbe zweien oder mehreren Wurzeln gemeinschaft- 

 lich, was sich dadurch kund gibt, dass h eine wiederholte Wurzel 

 der Bestimmungsgleichung : 



2 [#A<] = 0, 

 ist, so hat an seine Stelle ein anderes, etwas complicirteres Ver- 

 fahren zu treten. Man findet nämlich dann die Folgeglieder nicht 

 mehr durch Auflösung einer Gleichung des ersten Grades, sondern 

 aus einer höheren, und dieses complicirtere Verfahren ist so lange zu 

 wiederholen, bis man eine genügende Anzahl von Gliedern bestimmt 

 hat und endlich zu demjenigen gelangt, in welchem die Auflösungen 

 sich von einander unterscheiden. Ist man so weit gekommen, so ist 

 die Wurzel wieder vollkommen isolirt und die nächstfolgenden Glie- 

 der ergeben sich durch das frühere einfache Verfahren. 



Da die absteigende Entwickelung meistentheils zu unendlichen 

 Reihen führt und daher die Wurzel nur in einer gewissen Anzahl von 

 Gliedern, also nur annäherungsweise liefert; so hat man nach dem Ab- 

 brechen der Entwickelung noch das Ergänzungsglied zu bestimmen, 

 d. h. man hat die Summe der ausgelassenen Glieder innerhalb zweier 

 Grenzwerthe einzuschliessen. Es geschieht dies hier in ähnlicher 

 Weise, wie bei dem Wurzelausziehen. 



2. Aufsteigende Entwickelung von x nach einer beliebigen Grösse a — a=a. 



Man ordnet zu diesem Zwecke das Gleichungs-Polynom nach der 



Grösse a = « — a, und bringt es auf die Form: 



S [Ha a .r r ] = 0. 



Hier wird x vorausgesetzt in der Form: 



x = h a" ; " -f- hi a Jl -f- Ju afe -f- . . . 



und zwischen den Exponenten £ die Relation 



Co < £i < £a < • • • 

 angenommen. 



