216 Petzval. Über Herrn Dr. He ger's Abhandlung: 



Diese Entwickelungsweise besitzt grosse Ähnlichkeit mit der 

 früher erwähnten. Man beginnt gleichfalls mit der Bestimmung des 

 Anfangsgliedes h a^ und zuvörderst mit der Bestimmung von £ . 

 Hierzu führt eine ähnliche Untersuchung wie früher, wenn man will, 

 eine geometrische Construction. Man bildet nämlich zuerst die 

 Gleichungen von der Gestalt: 



■o = a -f- x£, 



construirt das System von geraden Linien, und sucht nun anstatt des 

 oberhalb gelegenen unendlichen Polygons , das unterhalb liegende, 

 welches die Punkte mit durchaus kleineren Ordinaten in sich begreift. 

 Die Ecken dieses Polygons liefern einerseits durch ihre Abscissen 

 die Werthe £ , andererseits bezeichnet jede derselben gewisse 

 Glieder des Gleichungs-Polynoms, aus deren Summe sich durch die 

 Substitutionen a = 1 , x = h die Bestimmungsgleichungen für h 

 ergeben. Mit der Bestimmung der Anfangsglieder h a^° ist auch hier 

 die eigentliche Schwierigkeit behoben, denn die Folgeglieder werden 

 auf genau dieselbe Weise, wie bei der absteigenden Entwickelung, 

 gefunden, mit dem einzigen Unterschiede, dass die Substitutions- 

 resultate aufsteigend zu ordnen sind , und das nunmehr erste Glied 

 nach a vom niedrigsten Grade ist. Auch hier gelangt man in der 

 Begel zu unendlichen Beihen und ist daher genöthigt zum Schlüsse 

 die Bestimmung des Ergänzungsgliedes vorzunehmen. 



Die aufsteigende Entwickelung von x führt in der Begel zu der 

 Form : 

 1) x = h -f h t a -f h a3 + 



und nur für entsprechend gewählte a kann eine Abweichung von 

 dieser Normalform eintreten, und dies ist nicht eine Eigenschaft, die 

 den Wurzeln einer algebraischen Gleichung allein zukommt, denn es ist 

 bekanntlich diese Form allen Functionen ohne Ausnahme eigen. Jede 

 wie immer gestaltete Function lässt sich mittelst der Mac-Laurin'schen 

 Formel in eine Beihe von dieser Gestalt entwickeln, wenn man nicht 

 zufälligerweise einen speciellen Werth von a erwählt, für den diese 

 Form ihre Gültigkeit verliert. Dieser Umstand macht es eben, dass 

 die aufsteigende Reihenentwickelung nur von sehr untergeordnetem 

 Werthe ist für diesen Zweck, wo es sich um Unterscheidung der Func- 

 tionen von einander handelt, vermittelst gewisser Eigenschaften die 

 ihnen eigenthümlich zukommen; während sie in anderen Fällen, wo es 



