die Auflösung; von Buclistabengleichung'en betreffend. 217 



sich um die allgemeinste Form einer Function und Ausserachtlassung 

 aller speciellen Eigenschaften handelt, wie z. B. bei Existenzbeweisen, 

 vor allen übrigen den Vorzug verdient. Die aufsteigende Entwiekelung 

 wird demnach nur sehr selten einzuleiten sein, ausser eben für jene 

 speciellen Werthe von a, welchen eine andere Form als die (1), oder 

 mit anderen Worten, welchen eine Unterbrechung der Stetigkeit 

 entspricht. Entwickelt man für solche specielle Werthe von a, so 

 kann man der aufsteigenden Reihenentwickelung ihren Werth nicht 

 absprechen, denn sie allein ist im Stande, gewisse Eigenschaften der 

 Wurzeln aufzudecken. Es erscheinen nämlich in einem solchen Falle 

 in der Reihe auch Glieder mit negativen oder mit gebrochenen Expo- 

 nenten und man erfährt auf diese Weise, dass a im Nenner oder 

 unter einem Wurzelzeichen erscheint. 



Est ist daher hier unter der aufsteigenden Entwiekelung vor- 

 zugsweise jene zu verstehen, die vermittelst der Mac-Laurin'schen 

 Formel nicht eingeleitet werden kann. Um aber diese Entwiekelung 

 zu vollführen, muss vorerst die Grösse a, also der Werth a ermittelt 

 werden, der eine solche Aufschluss gebende Form zu liefern im 

 Stande ist, und wir sehen uns auf einem ganz natürlichen Wege zur 

 folgenden Untersuchung geführt: 



3. Bestimmung der einer Unterbrechung der Stetigkeit entsprechenden 



Werthe a. 



Diese Werthe a bewirken, dass die aufsteigend nach a geordnete 

 Reihenentwickelung statt der gewöhnlichen Form (1) eine andere 

 liefert, in welcher a mit negativen oder gebrochenen Exponenten 

 versehen erscheint. Die Bestimmung dieser Werthe von a. zerfällt 

 demnach in zwei Theile, nämlich : 



a) in die Bestimmung jener Werthe von a, welche negative 

 Exponenten von a herbeiführen , und 



b) in die Bestimmung jener Werthe von a, welche zwar nur 

 lauter positive Exponenten von a aber darunter auch gebrochene zur 

 Folge haben. 



Die erste dieser beiden Untersuchungen erfordert die Auflösung 

 einer Zahlengleichung. Man bringt nämlich das Gleichungs-Polynom 

 auf die Form : 



