21 S Petzval. Über Herrn Dr. Heg-er's Abhandlung: 



indem man nach Potenzen von x ordnet, und alle mit derselben Potenz 

 von x versehenen Glieder zusammenfasst; f x (a) bedeutet hier das, 

 was man gewöhnlich als Gleichungs-Coefficienten bezeichnet, und 

 stellt ein Polynom vor, bestehend aus Gliedern // a A . Nun setzt man 

 den Coefficienten f m («) von der höchsten Potenz x m der Nulle gleich, 

 und löst die so erhaltene Zahlengleichung: 



f m («) = 

 auf. Ihre Wurzeln: 



a, , a z , cc 3 . . . . x r 



sind die unstetig machenden Werthe der ersten Gattung. Entwickelt 

 man für irgend eine derselben aufsteigend nach a = a — cc, so beginnt 

 die Reihenentwickelung mit einem Anfangsgliede: 



h (fr = //„ (a—z)- k , 



welches einen negativen Exponenten £ = — k aufweist. Man erfahrt 

 auf solche Weise, dass diese Wurzel einen Nenner (« — a) k besitzt, 

 und daher bei dem Übertritte von kleineren Werthen von a zu grös- 

 seren für a = a durch Unendlich hindurchgeht. Diese Untersuchung 

 liefert daher gleichfalls gewisse Assymptoten, nämlich jene, die in 

 dem Bereiche endlicher Werthe von a existiren. 



Die zweite Untersuchung, welche jene Werthe a. liefern soll, 

 für die in irgend einem späteren Gliede der aufsteigenden Reihen- 

 entwickelung ein gebrochener Exponent tauftritt, erfordert die Auflö- 

 sung eines Systemes von zwei Zahlengleichungen. Man denke sich 

 nämlich zu der ursprünglich gegebenen Gleichung noch eine zweite, 

 durch einmaliges Differenziren nach x daraus abgeleitete hinzuge- 

 fügt und dieses System von zwei Gleichungen nach a aufgelöst, so 

 erhält man eine Anzahl von Werthen: 



a! ex." od" .... «C*) f 



ihnen entsprechen die Grössen: 



a' — a — cd . a" = a — «" , . . . . aW = a — «W, 



Entwickelt man aufsteigend nach Potenzen einer beliebigen 

 dieser Grössen, so Averden mitunter in einigen oder auch in allen 

 Wurzeln x Glieder erscheinen, welche gebrochene Exponenten auf- 

 weisen und dadurch eine in den Wurzeln enthaltene Irrationalgrösse 

 p 

 Ya — a zu erkennen geben. Es gibt jedoch auch Fälle, wo keine 



