die Auflösung' von Buehslabeng-leichung-en betreffend. 210 



gebrochenen Exponenten erscheinen und demnach der entsprechende 

 Werth a kein unstetig" machender ist. Die durch Auflösung dieses 

 Systemes von zwei Gleichungen gewonnenen Werthe a sind daher 

 diejenigen , welchen mutmasslich Irrationalgrössen entsprechen 

 können. Ob aber dies wirklich der Fall ist oder nicht, kann erst die 

 aufsteigende, hinlänglich weit fortgesetzte Reihenentwickelung ent- 

 scheiden. Mit diesen drei Untersuchungen ist das Wissenswerthe 

 über die Eigenschaften der Genüge leistenden Functionen vollkommen 

 erledigt, denn alle übrigen Fragen, die noch von Werth wären, 

 beziehen sich auf specielle Werthe von a und x, oder deutlicher 

 gesprochen auf vereinzelte Punkte der ebenen Curve. Ihre Beant- 

 wortung hängt von der Auflösung eines Systemes von Zahlenglei- 

 chungen ab. Diese Untersuchung leistet noch mehr, denn sie liefert 

 durch geeignete Transformationen die Wurzeln in günstigen Fällen 

 auch in geschlossener Form , nämlich durch Combination gewisser 

 Irrationalausdrücke. Die dazu erforderlichen Rechnungsentwickelungen 

 sind bisweilen sehr einfach, so dass man mit leichter Mühe die 

 geschlossene Form finden kann, in anderen Fällen aber sehr compli- 

 cirt. Die Entscheidung dieser Frage, ob geschlossene Formen durch 

 Combinationen von Irrationalausdrücken herbeigeführt werden können 

 und welche es seien, würde einen eigenen Abschnitt dieser Auflö- 

 sungsmethode bilden, aber nicht die geringste Ähnlichkeit besitzen 

 mit den bekannten geschlossenen Auflösungen für Gleichungen bis 

 zum vierten Grade, denn hier nimmt man fortwährend Rücksicht auf 

 die Form der Coefficienten der Gleichung, während dort gerade das 

 Gegentheil stattfindet. Die hier erwähnte Möglichkeit geschlossener 

 Formen steht auch in keinem Widerspruche mit den Unmöglichkeits- 

 beweisen geschlossener Wurzelformeln für Gleichungen vom fünften 

 Grade angefangen. 



Da die hier gegebene Exposition der Auflösungsmethode hie und 

 da Avegen der gedrängten Kürze, die hier beobachtet werden musste, 

 für den Leser noch unklare Stellen aufweisen dürfte, so wollen wir 

 schlüsslich versuchen durch ein Beispiel diese Punkte aufzuhellen. 

 Wir erwählen hierzu die Gleichung 



O>0«-> + 20«-|-2) .r*-f(— 75«>-f-220«'— 2S«*— 40«— £>) a?*-f 

 + (— 300«* + 230«* — 72«»— IG« 3 — 6« -f 20) x* + 

 -f( 27« s — 117a« +138«— 45)j? + 

 + ( 108«* — 234«* + 198«.' — 90«+ 18) = 0. 



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