226 Petzval. Über Herrn Dr. Heger's Abhandlung: 



Es sind also zwei Wurzeln mit dem Nenner Ha -J- 1 versehen, 

 während die beiden anderen keinen solchen besitzen. In diesem 

 Beispiele, wo schon zwei Wurzeln in geschlossener Form aufgefun- 

 den sind, die (4) nämlich und die (5), unterliegt es keinem Zweifel, 

 dass dieser Nenner in den beiden andern Wurzeln erscheint, welche 

 bei der absteigenden Entwickelung als unendliche Reihen erhalten 

 wurden. Die Kenntniss dieses Nenners verstattet einen wesentlichen 

 Vortheil, denn man kann nunmehr die Wurzeln der Gleichung von 

 diesem Nenner befreien, indem man durch die Substitution: 



_— = y oder x = {Ha + l)j/=aj| 



die gegebene Gleichung in eine andere umstaltet, welche anstatt 

 der früheren Unbekannten x die neue y enthält. Führt man diese 

 Transformation aus, so gelangt man zu einer neuen Gleichung, 

 zwischen a und y, und diese verstattet alle vier Wurzeln in geschlos- 

 sener Form anzugeben, wenn man y aufsteigend nach der Grösse 

 a — 1 entwickelt. Man findet nämlich: 



y = 3 Ya—i , und y = — 3 Va— l. 

 Diesen beiden Wurzeln y entsprechen die Werthe: 



3 Y^T\ —3 t^=I 



x = und x = . 



5o + i 5« + l 



Man sieht an diesem Beispiele, wie die eingeleiteten Untersu- 

 chungen mitunter ohne grosse Schwierigkeit zu geschlossenen Formen 

 führen können, obwohl dies durchaus nicht das eigentliche Ziel 

 dieser Auflösungsmethode ist. 



Es erübrigt noch eine letzte Untersuchung an einem Beispiele 

 zu zeigen, nämlich: 



b. Die Bestimmung derjenige» Werthe a, welche gewisse Irrationalgrössen 

 in den Wurzeln erkennen lassen dadurch, dass die aufsteigende Entwickelung 

 nach a = a — a zu Folgegliedern führt, die gebrochene Exponenten £ besitzen. 



Wir wählen hiezu das einfache Beispiel: 



Oft -\- (3a— 3) x* + (3«2_o« -f- 3) x + a*— 3« 3 + 2a + 1=0. 



Zur Ermittlung dieser Werthe a hat man zu dieser Gleichung 

 noch jene hinzuzufügen, die durch einmaliges Differenziren nach an 

 abgeleitet wird, nämlich die : 



3^2 + (6«— 3) x + 3a»— 6a +3 = 0. 



