232 Petzval. Über Herrn Dr. Heg-er's Abhandlang: 



nämlich jetzt die Begrenzung dieser beiden Polyeder auf die hori- 

 zontale Ebene £rj und erhält die beiden Netze, sucht hierauf ihre 

 gemeinschaftlichen Punkte und findet so die gesuchten Werthe £ , v? 

 der Anfangsglieder. Die zugehörigen Coeffieienten // und k ergeben 

 sich auf gleiche Weise, wie bei der absteigenden Entwickelung durch 

 Auflösung von zwei Zahlengleichungen, die mit geringer Mühe mit 

 Hülfe der Netze gebildet werden. Auch die Bestimmung der Folge- 

 glieder bietet nichts Neues. Man gelangt auf solche Weise zu auf- 

 steigend geordneten Reihen für x und y, welche, der Natur der Sache 

 nach, meistens die Form: 



x = h -f /*, a -f Ä a a 2 -f ... 



V = h -\- h'i a + k, a» + . . . 



besitzen, und nur für specielle Werthe von a findet eine Abweichung 

 von dieser Form Statt, indem Glieder erscheinen, welche negative 

 oder gebrochene Exponenten besitzen. Die aufsteigende Entwickelung 

 ist von sehr geringem Nutzen ausser eben für jene Ausnahmsfälle; 

 denn selbst zur numerischen Berechnung der Werthe von x und y 

 für ein bestimmtes a ist es weit gerathener die gegebenen Gleichun- 

 gen hierzu zu benützen, als erst die aufsteigende Reihenentwickelung 

 vorangehen zu lassen. Für die Ausnahmsfälle jedoch erweist sich die 

 aufsteigende Reihenentwickelung als ein wirksames Mittel, um gewisse 

 Eigenschaften der Genüge leistenden Functionen zu erforschen, weil 

 sie zur Kenntniss aller Nenner, Factoren und Irrationalgrössen in 

 denselben führt. Dazu muss jedoch eine Ermittelung aller jener Werthe 

 von a. vorangehen, welche einem solchen Ausnahmsfalle entsprechen, 

 und es ist daher die folgende Untersuchung einzuleiten : 



3. Bestimmung der Werthe a, welchen eine Unterbrechung der Stetigkeit 



entspricht. 



Diese Werthe von a. werden aus Zahlengleichungen und Syste- 

 men von solchen gezogen und es ist im Grunde nur die Aufstel- 

 lung dieser Gleichungen die Aufgabe. Man gelangt zu denselben 

 zunächst durch zwei getrennte Untersuchungen ; die eine erörtert 

 die Bedingungen, unter welchen die aufsteigende Reihenentwicke- 

 lung von x oder von y oder von beiden mit einem negativen £ oder 

 7j beginnt; die zweite aber gibt Aufschluss, in welchen Fällen in 

 irgend einem Folgegliede ein gebrochener Werth von £ oder n 

 erscheinen kann. 



