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sondern im Gcgentheile da die nöthige Aufklärung gibt , wo die vor- 

 liegenden Exemplare der subjectiven Anschauungsweise nicht genügen. 



Es ist daher auch zweckdienlich, damit zu beginnen, weil 

 Wiederholungen vermieden werden und die Orientirung in Betreff 

 der Krystallflächen des Quarzes schneller vor sich geht. 



Der Umstand, dass die Flächen trigonaler Trapezoeder wirklich 

 nicht immer so vorkommen, wie man für sie festgestellt hat, Hess 

 mich zunächst auf die theoretische Betrachtung dieser Gestalten 

 zurückgehen und hier fand ich denn, was mir selbst noch nie aufge- 

 stossen war, dass man zweierlei trigonale Trapezoeder als Viertel- 

 gestalten der dodekagonalen Pyramiden zu unterscheiden habe, weil 

 je vier, also acht trigonale Trapezoeder aus einer dodekagonalen 

 Pyramide hervorgehen. Man nahm bisher immer nur vier an und die 

 Erscheinung einer Fläche an Kr y stallen gegen diese Annahme musste 

 zu Erklärungen veranlassen, welche bisweilen dem Vorkommen in 

 der Natur zu nahe treten. 



Wie die zweierlei trigonalen Trapezoeder zu je vier, wie also 

 acht krystallographisch zu unterscheidende trigonale Trapezoeder aus 

 einer dodekagonalen Pyramide hervorgehen, zeigt einfach die nach- 

 folgende Betrachtung : 



Bezeichnet man die vierundzwanzig Flächen einer dodeka- 

 gonalen Pyramide, deren allgemeines Zeichen mPn ist, mit den 

 fortlaufenden Zahlen 1 bis 12 für die obere Hälfte 



13 ,, 24 „ „ untere „ 

 wie die Figur 1 auf Tafel I angibt, so dass die Zahlen 1 und 1 3, 

 2 und 14, 3 und IS die obere und die untere einer Seitenkante 

 anliegende Fläche in fortlaufender Beihe zählen, und stellt man 

 nebenbei noch, was im Augenblicke gar nicht einmal nothwendig 

 wäre, in der Folge aber wegen der besondern Zeichen zu bestimmen 

 ist, die dodekagonale Pyramide mPn mit ihren fortlaufend zu 

 zählenden Flächen so mit einer als Grundgestalt gewählten hexago- 

 nalen Pyramide in normaler Stellung, deren Zeichen P ist, oder auch 

 mit irgend einer hexagonalen Pyramide in normaler Stellung, deren 

 Zeichen m P ist zusammen, dass die den Flächen der hexagonalen 

 Pyramide in normaler Stellung entsprechenden Flächenpaare der 

 dodekagonalen Pyramide folgende sind: 



