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Setzt man 



X' = fjj cp . dr . db . dt, 



so ist mit ßücksicht auf die erste Gleichung 28) 



(i- COS h cos t — e cos E) >•- cos b 



2re (cos b cos < cos i? -|- sin i? sin b) -\- e^j' 



und wenn für r, b und t die Wertbe ?•„ -^ p, Z*« + ß und t^ -^ x substituirt werden, so ist cc als 

 eine Function von p, ß und x zu betrachten. 



Nimmt man die Differential-Quotienten für die Werthe p = 0, ß = und t = 0, so er- 

 hält man, da für diese Werthe 



(>•„ cos 5„ cos <o — e cos B) 7-1 cos Jg 



U'l — 2r, e (cos Z»o cos ?„ cos B -|- sin 6,, sin £) -|- e'j = 

 wird : 



(>•„ cos i„ cos «0 — e cos ii) r^ cos io , «?? , '^y o , '^'f , '^'^ p' , 



"^ 1^3 — 2r„e(cosi„cos<ocosi?-|- sin6„sin7?) + e-[T 4 ä^ dz dp'' 2 



d'f ß- d-fo ^ d-f d-co drto 



+ ^ß"^ • ¥ + ^ • ^' "^ 4^ • f"'^ + ^t • P" + j^i • '^" "■ '• ^- 



Substituirt man diesen Werth in die letzte Gleichung für X! und nimmt für jeden der 

 einzelnen Werthe der Attraction der je acht oben anoeführten Elemente das arithmetische 

 Mittel aus allen Acht, so werden sich alle Glieder, welche ungerade Potenzen von p, ß und t 

 enthalten, heben, ohne den Werth des Integrals zu ändern, und man erhält auf diese Art: 



(»•„ cos Jo cos ^0 — e cos fi) ?-o cos 6» d^t^ p" d-f ß^ d-f r' 



'^^Iß^'Y'^'d^'Y'^ 



+ u. s. f. ( dr . db . dt. 



rrr { (r^cosb^costo — ecoSfi)?-oCOsZi„ d^tp p" 



JJJ \r>-l — 2r„ e (cos ba cos f^ cos B + sin b^ sin B) -f /^r df 2 



Bezeichnet m denjenigen Punkt, dessen Lage durch die Polar-Coordinaten ?•„, b^, und tf, 

 angegeben wird, so kann man m als den mittlem Punkt der attrahirenden Untertheilung be- 

 trachten, dessen Entfernung vom Observatiousorte 



= \ rl — 2r^€ (cos 6o cos ^ t'os B -\- sin b^ sin B) -{- e^ 

 ist. 



Gibt man aber der attrahirenden Untertheilung nur eine solche Ausdehnung, dass p, %ß 

 und r^x gegenüber dieser Entfernung als klein betrachtet werden können, so werden die 

 Glieder von p^, ß^ und t" einen so geringen Werth haben, dass man sie bei dem hier nöthigen 

 Grade der Genauigkeit vernachlässigen kann. Demnach erhält man sehr nahe, wenn die In- 

 tegration des letzten Ausdruckes für X' nach den von einander unabhängigen Veränderlichen 

 r b und t in den oberen Grenzen nach einander vorgenommen wird: 



(?•(, cos b„ cos t^ — e cos B) ?■„ cos b^ (r^, — r^ (b^^ — b^) (?„ — ?,) 



X = ■ r^ ■ 



yi — 2r„e(cos b^ cos f„ cos B -f sin b^ sin B) -f e'U 



