Über die Proximitäten der Bahnen der Planelen und Kometen. 43 



f6) | (*— x ^ cos * + (9— 9») ™* r 3 + (h—h) cos 7 = 0, 

 *• ^ j (x— Xi) cos a, + (9— 9t) cos ß, + (j— jO cos 7, =0; 

 sind zur vollständigen Bestimmung der sechs gesuchten Coordinaten 

 X, 9, j und Xi » 9i > Ji im Allgemeinen hinreichend; und da diese sechs 

 Gleichungen sämmtlich vom ersten Grade sind, so erhellet zugleich, 

 dass es für zwei gerade Linien im Räume immer nur eine Proximi- 

 tät gibt, insofern es nämlich überhaupt eine solche gibt. 



Um über Letzteres zu entscheiden, d. h. um zu entscheiden, ob 

 die Entfernung der beiden Punkte (x, 9, j) und (Xi , 9i » $0» deren 

 Coordinaten durch die Gleichungen (6) bestimmt werden, von einan- 

 der wirklich ein Minimum ist, müssen wir mit Rücksicht auf die Glei- 

 chungen 



»-0. ^ = 



dx dx x 



noch die zweiten Differentialquotienten 



d*E d~E d 2 E 



dx* dx* dx dx x 

 entwickeln. Aus den aus dem Vorhergehenden bekannten Gleichungen 



rr dE r ^ . r ^ ^ i / \ d * 



E Ä= (*-*> + (»-»') IT + ( *- s,) * ' 



r. dE r ^ r \ d h r \ d h 



E wr~ (r_ri) - ^-^ *, - (i_8,) *, 



folgt aber durch fernere Differentiation : 



,dEy #R 



d\)\z /rfj\2 d 2l i) . d z i 



, + © S + © S + (^-)S + ^> 



dx* 



also, weil nach dem Obigen offenbar 



^ = o ^--o- ^i-o ^--0 



dx* ' dx* - "' dx,* _U ' * t » ~ 



ist, zugleich mit Rücksicht darauf, dass 

 dE n dE 



