Über die Proximitäten <ler Bahnen der Planeten und Kometen. 4!) 



Folglich ist nach dem Obigen : 



d*E 1 d*E 1 



E ——- = , E — — - = ; 



dx" cos or rtXj" cosa^ 



d~E cosa cosa, fcos/3 cos ß x -\-cos°i cos'^ 



dx dx x K 08 a cos a, 



und daher: 



) vrfj: rfxj/ djc a djCj 2 



(cos a cos a, -f- cos ß cos /3j -\- cos 7 cos 7,) 3 — i 

 cos a 3 cosa x z 

 Nun ist aber, wenn wir einen jeden der zwei von den beiden 

 gegebenen geraden Linien eingeschlossenen, 180° nicht übersteigen- 

 den Winkel durch bezeichnen, bekanntlich: 



cos ö = + {cos OL cos CCi -f cos ß cos ß x + cos 7 cos 7 t ), 

 also nach dem Obigen : 



3 {, d 2 E Y dZ E diE \ co* 9 a — 1 sin 3 



)\dx dxi' dx z dx t 2 \ cos a 3 cos a t 2 cosa 8 cos a, a , 



folglich offenbar 



• o! 3 £ v a d 3 ^ d z E 

 \dxdXs) dx % dx z 



eine negative Grösse, wie es bekanntlich das Minimum erfordert. 



Hiernach sind also alle Bedingungen des Minimums vollständig 

 erfüllt, und es findet daher wirklich ein Minimum, aber auch nur 

 eines, Statt. 



Hat man die Coordinaten je, 9, $ und X\ , 9i , Jt , mittelst der 

 Gleichungen (6) bestimmt , so findet man deren kürzeste Entfernung 

 E selbst mittelst der Formel 



( 7 ) E = V(x-a) 3 +(9-9i) 3 +0-5i) 3 . 



und man kann also jetzt im vorliegenden Falle nicht blos die Lage 



der beiden, der einen Proximität, die es gibt, entsprechenden Punkte 



der zwei gegebenen geraden Linien, sondern auch die Grösse dieser 



Proximität bestimmen. 



Wir wollen jetzt die gerade Linie, welche auf den beiden durch 



die Gleichungen 



tx — a y—b z — c 



/-q-v 1 cos a cos ß cos 7 



\X «j */ — Oj * — Cj 



' cos « t cos ß t cos 7, 



