Über die Proximitäten der Bahnen der Planeten und Kometen. 63 



kel bezeichnen, welchen der auf der positiven Seite der Axe der x 

 liegende Theil der Axe der Parabel mit dem positiven Theile der Axe 

 der x einschliesst; die Entfernung des Scheitels der Parabel von ihrem 

 Brennpunkte oder dem Anfange der Coordinaten, indem man diese 

 Entfernung als positiv oder als negativ betrachtet, je nachdem der 

 Scheitel auf der positiven oder negativen Seite der Axe der x liegt, 

 soll aber durch a bezeichnet werden. Ist dann («») ein beliebiger 

 Punkt in der Ebene der xy, und sind x, y die Coordinaten des Fuss- 

 punktes des von dem Punkte (uv) auf die Axe der Parabel gefällten 

 Perpendikels, so ist nach der Lehre von der Verwandlung der Coordi- 

 naten offenbar u cos Vtf -f- v sin <tf die Entfernung des Punktes (xy) 

 von dem Anfange der Coordinaten, wenn man diese Entfernung als 

 positiv oder als negativ betrachtet, je nachdem der Punkt (xy) auf 

 der positiven oder negativen Seite der Axe der x liegt. Hieraus 

 ergibt sich mittelst einer einfachen Betrachtung, dass 

 ± { a — (u cos <tf -f- v sin <tf) } , 

 das obere oder untere Zeichen genommen, je nachdem a positiv oder 

 negativ ist, die Entfernung des Punktes (xy) von dem Scheitel der 

 Parabel ist. Also ist, mit derselben Bestimmung wegen des Vorzei- 

 chens, wenn (u v) ein Punkt der Parabel ist und p deren Parameter 

 bezeichnet, nach der Natur der Parabel : 



(x — u)~ -f- (y — y) 3 = ± p { a — (u cos <tö -f- v sin <&) \ , 

 und folglich, weil ± p = 4« ist: 



(x — u)~ -f- (y — y) 3 = 4 a | a — (u cos <& -f- v sin <&) ]. 

 Ganz wie in II, ist aber 



(x — u) z -f- (y — v)~ = ( ü sin tjj" — v cos Ttf) 3 , 

 folglich 



(4) (ii sin <Tä — v cos <rü) 3 = 4 « | a — (u cos <7tf -j- v sin vrf) l 

 die Gleichung der Parabel im vorliegenden Falle. 



Betrachtet man den Parameter p als positiv oder negativ, je 

 nachdem der Scheitel der Parabel auf der positiven oder negativen 



Seite der Axe der x liegt, so ist a =-rP' a ^ so nac ' 1 (^) 



(5) (u sin <tf — v cos <&)* = p \ — p — (ucos<tf + v sin <ti) I 

 oder 



(5*) (usin <& — v cos <tf) 2 = —p \ p— 4 (u cos <& -f v sin <tf) \. 



