Über die Proximitäten der Bahnen der Planeten und Kometen. 7 O 



führt, so dass man also jetzt zur Bestimmung von Z und 3 die beiden 



Gleichungen 



i Z 3 + 3 a = r\ 



^ \ (AC + BD) (Z 3 — 3-) — (A* + ^ — C 3 — D-) Z3 = 

 hat. Weil wegen der ersten Gleichung 



3 2 = r* - Z 3 

 ist, so wird die zweite Gleichung 



(AC + BD) (2Z 3 — r*) — (^« + J5 3 — C 3 — £ 3 ) Z3 = 0, 

 woraus sich 



= (AC + gD)(2 3 8 -r-) 



W 3 (A 3 + #3 _ c~ — D z ) Z 



ergibt. Führt man aber diesen Werth von 3 m die erste der beiden 

 Gleichungen (3) ein , so erhält man zur Bestimmung von Z die 

 Gleichung: 



y J ~ (jp + B*— c 3 -z> 3 ) 3 z 3 



Nach gehöriger Entwicklung erhält man aus dieser Gleichung 

 die Gleichung 



{ (A* + £ 3 — C 3 — 7) 3 ) 3 + b(AC + BDy \ Z* \ 

 — { (J 3 + £ 3 — C- — D 3 ) 3 + 4(.4C + BDy \ r* Z 3 =0, 



+ (AC + &D) 3 r* ) 



und löst man diese Gleichung wie eine quadratische Gleichung auf 

 gewöhnliche Weise auf, so erhält man nach einigen leichten Trans- 

 formationen : 



(6) Z*=*lr*\ 1 ± 



1 m ( J , A 3 +g 3 — C 3 — D 3 



/U 3 +ß 2 — C 3 — i> 3 ) 3 + 2(AC4-ßZ)) 3 



Auch überzeugt man sich leicht von der Richtigkeit der nach- 

 stehenden Gleichung: 



(A* + B* — C 3 — D-y + 4(i4C + #D) 3 

 = (A* + ß 3 + C 3 + /) 3 ) 3 — 4(AD — Bcy, 

 und kann daher die Formel (6) auch auf folgende Art darstellen: 



(6 .) Z-^-r- \ 1 + ^^CM. , 



v J 2 1 - ^(A 3 + ß 3 + C 3 + ö 3 ) 3 -4 4 (Afl— ÄC)2) 



Weil der absolute Werth des Bruches 



A*-\-B*—C 2 —D* 



VA Z + B*— C 2 -D*y + l(AC+BDy 

 offenbar immer kleiner als die Einheit ist, so erhellet aus (6), dass 

 die beiden Werthe von Z 3 immer positiv sind, also Z jederzeit vier 

 reelle Werthe hat. 



