76 Grüner t. 



Aus Z ergibt sich 3 mittelst der Formel (4) ohne alle Zwei- 

 deutigkeit, und zur Bestimmung von Z x erhält man aus (1) 

 und (2) : 

 (AZ + C3y+{BZ+D3)* a = (A3-CZy+(BQ-DZy g = g 



(Bz+DQy r (A3— czy * ri ' 



also 



,~ 7 (gZ-i)3) r t (A3-CZ) n, 



V V *i = ± i/ö y , ^« ,,»7, nö Ta" ± 



^(AZ + CS^ + CßZ + DS^ - Y(A3-CZf + (BQ-DZ)' 

 Endlich findet man 3i mittelst einer der beiden Formeln (2). 

 Man kann sich die Rechnung nach vorstehenden Formeln durch 

 Einführung von Hülfswinkeln auf verschiedene Arten erleichtern, 

 wobei ich jedoch nicht verweilen will, da dergleichen Transforma- 

 tionen einem Jeden geläufig sind. Bemerken will ich indess , dass, 

 wenn man 



(öj — = cos f , — = sin cp 



setzte, was wegen der ersten der Gleichungen (3) verstattet ist, die 

 zweite der Gleichungen (3) die Form 

 (AC + BD) {cos<? z — sin y 8 ) — (A 3 -f ß s -C 3 - D~) sin f cos <? = 0, 

 also die Form 



2 {AC + BD) cos 2 y — (A 3 + ß 3 — C 3 — ö 3 ) sin 2 y = 

 erhalten würde, woraus sich zur Bestimmung von <p die Formel 



rm * 9 2(AC+i?i>) 



(9) fang 2 ? = At + ßi _ Ci ^ 



ergibt. Hat man mittelst dieser Formel f gefunden , so erhält man Z 

 und 3 mittelst der aus (8) unmittelbar fliessenden Formeln : 



(10) Z = r cos f, 3 = r sin f. 

 Die Grössen Z x und 3i erhält man wie vorher. 



VI. Proximitäten zweier parabolischen Bahnen, welche die Brennpunkte 

 mit einander gemein haben. 



Die Proximitäten zweier parabolischen Bahnen mit gemein- 

 schaftlichen Brennpunkten gestatten eine ganz ähnliche Behandlung 

 wie die Proximitäten zweier elliptischen Bahnen in IV; nur müssen 

 wir hier die aus III (3) bekannte Gleichung der Parabel 

 (« — vo) % 1 f% 



t r — 



cos Ttf 3 sin i z 4 sin TD* sin i 



