Sülle proprietit delle funzioni algebriche conjugate. 301 



Facciamo successivamente, x = cos z , x = tang z, ed otter- 

 remo 



f (cos %) = — tang z sin z , f {sin z) f cos z = — sin 2z , 



f (tang z) == — f (cot z) = — cot 2z. 



12. Nella funzione i n versa /' [z] facciasi z = 2 tang y, sarä 



1 siny + l 



/•[«] = to^ y ± Vl+tang*y = tang y ± — = -^j-- 



Nella funzione inversa y [2;] facciasi « = 2 sm 2/, sarä 

 (p [z] = siti y ± ^^T cos ?/ = e^ s/ - x . 



13. Pertrovare altre proprietä delle funzioni conjugate conside- 



riamo le funzioni di funzioni, ossia le espressioni f(fx), 'j> (<p x), 



f (<p x), f (f&)\ avremo in primo luogo 



1 



. etf . l l ^ _3+ ^ 2 ? (*«)-3 

 f(fx) =*-- r = _- -_- 



x x 



e collo stesso processo 



'^'""Töö"' ^ )=_ K^r' ?(At)== ~7^T' 



ove si vede che, nelle funzioni che contempliamo, alternando i due 

 simboli f e f si ottengono valori differenti fra loro. 



Formando la serie f(x),f(fx), f (ffoe) ecc. ed indicando 

 con F (11) il termine w-esimo, si avrebbe per detenninarne il valore 



da risolvere l 1 equazione a differenze finite A F (n) = — e 



cambiando soltanto il segno si avrebbe 1' equazione relativa alla 

 funzione <p. 



14. II differenziale primo di ciascuna delle due funzioni /'(.r), 

 ? 0*0 v ' ene facilmente rappresentato per mezzo della funzione con- 

 jugata ; i differenziali secondi poi risultano eguali e di segno con- 

 trario; in fatti si ha 



df(x) . . 1 1 , . 



— - = 1-4- — == — 9 (x) , 



dx ~ x z x r v J 



dvx 1 1 „ _, N 



- i - -* = - / w ■ 



^ = ir (? 0*0~/W) = - ^ » 



