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zu finden, ferner die diesen Punkten zugehörenden wahren Anomalien v i\ und Radien r ?•, aus 



V = u — to 

 V, = u, — w, 



"(1-^^) V (6) 





I + £ Cos p 

 a, (1 - e^) 

 !-)-£, Cosv, 



Nennt man weiter p p, die entsprechenden Ekliptik-Poldistanzen , so erhält man diese 

 mittelst 



Cosp = Si7i u Sin n ) ,_> 



Cos p, = Sin u, Sin n, | 



und die gesuchte gegenseitige Distanz D beider Punkte immer hinreichend genau aus 



D=Y (r, — rf + 4 Sin"" ^^ rr, ('^) 



Begnügte man sich nicht mit dieser Bestimmung, so könnte L variirt und der kleinste Werth 

 von D durch Interpolation gefunden werden. 



Durch die bisher besprochenen Methoden wird man der Wahrheit meistens sehr nahe 

 kommen können, aber doch eigentlich nicht das wirkliche Minimum der gegenseitigen Distanz 

 beider Bahnen finden. Ich gestehe, dass ich lange umsonst nach angemessenen Mitteln, dieses 

 Ziel zu erreichen, gesucht habe; überall nahmen die Ausdrücke eine Weitläufigkeit an, die 

 ihjien alle Brauchbarkeit für die Praxis raubte. Endlich fiel ich darauf, in dem beiläufig 

 bekannten Orte der Bahnnähe eine Linie senkrecht auf die eine Bahn und so errichtet zu 

 denken, dass sie auch die andere Bahn durchschneidet. Hier hat man endlich so zu sagen 

 mit derjenigen Gattung von Distanzen zu thun, zu welcher die kürzeste Entfernung, welche 

 eben auf beiden Bahnen senkrecht steht, gehört, und kann nun durch Variirung des Ortes 

 in der einen Bahn das wirkliche Minimum finden, ohne in zu ausgedehnte Rechnungen zu 

 gerathen. Die Formeln stellen sich für diese Art das Problem ins Auge zu fassen wie folgt : 



Bestimmen wir zuerst mittelst der Gleichungen (5) und (6) die Grössen r und v in der 

 Bahn eines der beiden Planeten, welche der aus der Zeichnung erhaltenen beiläufigen Länge 

 L der Bahnnähe entsprechen, und nennen wir TX, TY, TZ die Winkel, welche die Tangente 

 an diesem Punkte der Curve mit den Coordinatenaxen bildet, die Ekliptik als Ebene der jcj/ 

 und die Frühlingsnachtgleichenlinie als Axe der x gedacht, so haben wir, wenn ^ die Ciiarak- 

 teristik des Sonnensystemes und p den halben Parameter der Bahn bedeutet, mit Beibehaltung 

 der oben gebrauchten Bezeichnungen 



Cos [TXy = — ^^ Sin {v J^w-\- A) + X j 



Cos [T Y) = — ?-^- Sin [v + w + B) ^ II ^ [9) 



Cos (TZ) = + ^^ Cos iv + w) + ^^ \ 



