Anioendung des sogenannten Variationscalcid' s auf zweifache und di-eifaclie Integrale. 21 



Auch hat schon Euler das Wort „Mutation" ganz in meinem Sinne gebraucht; z. B. in 

 seiner „MetlioJus inveniendi lineas curvas maximi minimive proprietate gaudentes. Lau- 

 sannae et Genevae 1744". Man sehe daselbst Seite 21 unten, und Nr. 58, 59 und 60 auf 

 Seite 27 und 28. Namentlich in Nr. 61 auf Seite 29 kommt das Wort häufig vor: und 

 gerade hier wird Euler's Methode vollständig erklärt. 



Wir begegnen diesem Worte aber auch neuerer Zeit in einer Schrift von Gauss, welche 

 den Titel führt „Principia generalia theoriae figurae fluidorum in statu aequilibi-ii. Göttingae 

 1830". Man sehe daselbst §. 20 und §. 21. 



Damit jedoch meine hier vorliegende Abhandlung auch nicht im Entferntesten den An- 

 schein habe, als wolle sie im Kleinen gross sein; so habe ich mich, wiewolil sehr ungern — 

 ich gestehe es — entschlossen, für dieses Mal wieder das bisher übliche Wort „Variation" zu 

 gebrauchen. Bei späteren Anlässen , die geeigneter sein werden, werde ich mich nicht abhal- 

 ten lassen, verschiedene Begriffe auch mit unterscheidenden Namen zu benennen. 



§• 3. 



Ehe ich zu meinem Gegenstande selbst übergehe, will ich noch einige eigenthümliche 

 Bezeichnungen erklären, ohne deren Kenntniss das Folgende unverständlich wäre. Die oft 

 sehr zusammengesetzten Ausdrücke und mannigfaltig verbundenen Operationen , welche im 

 (sogenannten) Variationscalcul vorkommen, machen vielerlei Bezeichnungen nöthig, während 

 sich bei den einfacheren Zuständen und Beziehungen des Differential- und Integralcalcul's 

 ein solches Bedürfniss weniger fühlbar macht. 



Euler und seine Nachfolger haben die totalen und partiellen Differentialquo- 

 tienten dadurch unterschieden, dass sie letztere in Klammern einschlössen; dagegen andere 

 Analytiker Hessen die Klammern weg, und überliessen es so der Fertigkeit des Lesers, zu un- 

 terscheiden, ob von totalen oder partiellen Differentialquotienten die Eede sei. Bei den Fort- 

 schritten der Wissenschaft konnten aber auch die Klammern nicht mehr genügen; und man 

 sah sich nach einer anderen Bezeichnungsweise um, welche mehr leiste, und um so willkom- 

 mener sein musste, als die Klammern noch zu sehr vielen anderen Zwecken im Diflerential- 

 calcul nöthig sinJ. Eine zweckmässige' Bezeichnung der partiellen Differentiale besteht darin, 

 dass man hinter d den Veränderlichen setzt, nach welchem differentiirt werden soll. Ist z. B. 



Ij iü = <p{x,y) 



gegeben, so folgt daraus 



IIj d w =^ d^w -\- dyW 

 III) d'w=^d\w-\-'^-dj,d,jW-\-d}^w 

 etc. etc. 



' dit) ■ 



Hier bedeuten also d^w und d^%o dasselbe, was bei Euler bezüglich durch \^j^ ■ dx und 

 f- — ] . dg dargestellt wird, etc. Ist ferner gegeben 



'Die in dieser Abhandlung durclnveg angewendete Bezeiolinung der partiellen Differentiale hat schon Lacroix vorgesehlagen 

 in seinem „Traite du calcul differentiel et integral. Paris. 3 Bd., 1810, 1814, 1819". Der Vorschlag zu besagter Bezeichnung findet 



' d"'+"z 

 sich im -i'en Bande. Seite 527. und zwar in Nr. 728. woselbst namentlich die Gleichung . dx™ . dy" = d" d'^ z nicht 



dx^.dy" ■ ' 



zu übersehen ist. 



