Anwendung des sogenannten VariationscalcuVs auf zweifache und dreifache Integrale. 23 



hier, wo es sieh nur um totale Differentialquotienten handelt, zwischen — und =^, ebenso 

 zwischen — — und ■==, etc. kein Unterschied. 



d.r- dx^ 



§. 5. 

 Hat man die beiden gleichzeitig bestehenden Functionen 



XIV) w^,f{x,y,z) und XV) 2 =;f (x , 3/), 



so sind diesmal die beiden Veränderlichen x und ?/ absolut unabhängig, und w ist nur von 

 X und y abhängig, was dadurch erreicht wird, dass man z aus <p{x ,y ,z) eliminirt. Hat man 

 aber die vollständigen partiellen Differentialquotienten nach x und nach ?/ zu nehmen, und 

 will man z selbst nicht eliminiren ; so differentiirt man w bekanntlich in der Weise, dass man 

 die Differentiale des z als veränderlich behandelt. Will man ferner für den Verlauf der Unter- 

 suchung bemerkbar machen, dass das x und das t/ auch implicit vorkommen; so gebe man 

 den vollständigen partiellen Differentialquotienten auch diesmal einen doppelten Bruch- 

 strich. So verfahrend bekommt man 



dw d z 



+ 



d X dz dx 



d^ w d^w d^z 



d y dz dy 



d'w dd^w dz dZw ,dz^ d w d~ z 



d:e'^ dx.dz dx dz^ \ dx ' dz dx- 



d .d„w d d w dz d d lo dz d' w dz dz 



X 1/^X2 V I ,V 3 X 3 X 1/ 



d.c.dy dx.dz dy dy.dz dx dz'^ dx dy 



d'w , d z." d w d" z 



4- -^ . [^ + ^ . -^ 



d z~ \ dy ' dz dy^ 



d" w d d IC dz d" w ^ d z J' d ic d" z 



JL y 2 . " " . — ^ - .. ... 



d .(/- dy.dz dy 



In diesen Gleichungen sind aber die doppelten Bruchstriche nicht mehr unnöthig, 

 sondern wesentliches Bedürfniss; denn sowohl _ ^ als =^= sind Zeichen für partielle Diffe- 



d X d X 



rentialquotienten, aber das erste ist der einfache und das zweite ist der zusammengesetzte 



, d w ^ ^ 



Begriff, d. h. durch das Zeichen — — ist ein nur nach dem explicit vorhandenen x genom- 



d X j 



mener, dagegen durch das Zeichen —^— ist ein sowohl nach dem explicit als nach dem im- 



d x 



plicit vorhandenen x genommener partieller Differentialquotient dargestellt. 



§. 6. 



Wenn y = ^ (x) ist, so ist y^^= ^(a,), d. h. das unten an ^ angehängte a zeigt an, dass a 



an die Stelle des x getreten sei. Ebenso wird durch | — - \ angezeigt, dass man zuerst die 



innerhalb der Klammern angedeutete Operation ausgeführt, und zuletzt a an die Stelle des 

 zurückgebliebenen x gesetzt habe. 



Wenn .2 = ^ (cc , z/) ist, so ist Sa_ j, = j? (a , y) , s^ j = ^ (a; , b) und s^ j = ^ (a , 6) , d. h. durch 

 die unten an z gehängten Buchstaben erkennt man, ob entweder x allein oder y allein, oder 

 ob X und y zugleich einen besonderen Werth angenommen haben. Eben so Avird durch 



I LlL I I ^^ I I -^ "" I etc. angezeigt, dass man zuerst die innerhalb der 



l d.,-" h .., \ dx" h .>. \ dx" . d y'' Ja. 6 



