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Klammern angedeutete Operation ausgeführt, und zuletzt die unten angehängten besonderen 

 Werthe an die Stelle des x oder des y gesetzt habe. 



Und so fort bei Functionen mit drei und noch mehr absolut unabhängigen Veränderlichen. 



§• '• 



Um jetzt die vorliegende Abhandlung systematisch durchzuführen, mag dieselbe in zwei 

 Abtheilungen gebracht werden, deren erste sich mit den zweifachen, und deren zweite sich 

 mit den dreifachen Integralen befasst. 



Nun kann ein zweifaches Integral in einer von folgenden zwei Formen 



aß a ß [x] 



ffw.dij.dx und ff W.dij.dx 



'a i a ö (x) 



erscheinen. Bei der ersten Form sind die Integrationsgränzen h und ß unabhängig von x. 

 aber bei der zweiten Form sind die Integrationsgränzen b{dc) und yJ(x) Functionen von x. 



Unter den verschiedenen Formen , die ein dreifaches Integral annehmen kann . mögen 

 besonders folgende zwei 



I W . dz . dy . dx und / / / W . dz . dy . dx 



a /j c s, li [x) c {x , y) 



Jiervorgehoben werden. Bei der ersten Form sind c und y unabhängig von x und y. und h 

 und ß sind unabhängig von x. Bei der zweiten Form aber sind c [x^y) und ;- {x ly) Func- 

 tionen von X und ?/, und b {x) und ß{x) sind Functionen von x. 



Sonach kann man jede der oben genannten zwei Abtheilungen wieder in zwei Abschnitte 

 zerlegen. 



ERSTE ABTHEILl NG. 



Aiiwi'mlung des (sugenanntenj Variationscaleul's auf zweifache Integrale. 

 Erster Abschnitt, 



wo solche Inteo;rale voikoniiiicn, bei denen die Cuänzoii der ersten Integratinn unabhängig- sind von jenem 

 Veiiiiidei'liehen, nacli welclieni die zweite Integration durchgeführt werden soll. 



Ün ters u diu n o- 1. 

 §• 8. 



dz dz 



Es sei IFein reeller, mit den ßestandtheilen x . y , z . -^ , -^ versehener Ausdruck : 

 imd man sucht für z eine solche Function von x und //. dass folgendes Integral 



I) U =-jj W . dy .dx 



^a ''4 



wo h und ß keine Functionen von x sind, ein Maximum oder Minimum wird. 



Die "Werthe von a , a , 6 , ,9 sind liier als constant zu l'ctracliten. mit der steten Rück- 

 sicht, dass a^ a und ß'^ h. 



