Anwendung des sogenannten VariationscalcuV s auf zweifache and dreifache Integrale. 25 



d^ z d z 



Man setze zur Abkürzung- ?> und n bezüalich statt -^ und -—•. so bekommt man vorerst 



J J V dz dp dx dn dy ' ^ 



a b 



Man bezeielme, um noch mehr abzukürzen, die zu den zwei Differentialquotienten der 

 ersten Ordnung 



d 33 d 3z 



und 



dx dy 



o-ehörio-en Factoren bezüplich mit 



(Ix) und (I^) • 

 so gestaltet sieh letztere Gleichung auf folgende Weise: 



a ß 



Die Zweckmässigkeit dieser Abkürzungszeichen wird in den folgenden zwei Untersu- 

 chungen, wo höhere Diflerentialquotienten vorkommen, noch mehr vor die Anschauung treten. 



Man beachte , dass die durch (la;) und (ly) repräsentirten Ausdrücke das x und das y 

 sowohl explicit als auch implicit in z , p . q enthalten, und dass durch 



d 3z d 3z „ d 3^z d 3^z 



oz , , — — , o z , , — , etc. etc. 



dx dy ' dx dy 



Functionen dargestellt sind, wo das x und das ?/ nur explicit vorkommt; und desshalb kann 

 man der Gleichung II auch folgende Form geben: 



III) .- ü = md^ElH + '^'''^'' ■"'' + ('fI^M±^M±).,z]dy. dx 



J J ^ dx ^ dy ^ \ dz dx dy ) i "^ 



Führt mau bei den durchlaufenden Differentialen die betreifenden Integrationen aus, so 

 gibt sich weiter 



IV) Ü U= / [ (I x), , „ . dz, , „ — (I x), , „ . dz, , ,,] . dy 



a 

 + f[ i^I/l , ^ • OX . ;ä — (Iy)x , . ■ 0^2, . *] • dx 



rr^d^w djix) ^„(i,) 

 -f / / — =^= . dz . dy . dx 



f I \ dz dx dy f "^ 



"a '' b 



Hieraus folgt die Hauptgleichung 



d.W d^ilx) d,^{ly) ^ 



' dz . dx dy 



und die Gränzengleichung 



VI) f[ (I a;)„ , , . dz, , , — (la;), , , . dz,^ J . dy 



a 



Deiikscbriiteu der mathemat.-naturw. (_'!. \VI. BU. Abliaiid]. v. Nichtmit^l. 



