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Die Hauptgleichung wird in der Regel eine Partialdifferentialgleichuug der z wei ten Ord- 

 nung sein; und dann nimmt ihr allgemeines Integral zwei willkürliche Functionen in sich auf. 



Die Gränzengleichung hat bereits die Werthe a , a , b , ß in sich aufgenommen, und 

 dient dazu, die in der gesuchten Function z = <f (x , y) befindlichen Avillkürlichen Stücke zu 

 specialisiren, welche sich aber bald so bald so modificiren werden, je nach den verschiedenen 

 Gränzbedingungen. 



§. 9. 

 Jetzt ist das Prüfungsniittel herzustellen , welches . wenn man die Hauptgleichung V 

 beachtet, zunäclist folgende Form annimmt: 



a 



d oz d dz 



Li\ 



F . d£' + 2 E . <?3 . ^- + 2 D . o\3. — 



dx dy 



,d dsj d dz d dz ,1 dzj~\ 



+ C.(^ +2B.^.^^ + A. -^]\.dy.dx 



^ V dx- ) dj; dy ' W^ / J '' 



WO man sich aber zu denken hat, dass die durch die Gränzbedingungen bereits special isirtc 

 P^unction z ^= <p {x ^y) eingeführt sei in die durch A , ß , C , D , E , F repräsentirten Ausdrücke. 

 Man hat nun die Bedingungen aufzusuchen, bei denen (?''?7, während man sicli unter o^s jede 

 beliebige Function von x und ?/ denken kann, beständig positiv oder negativ bleibt. Zu die- . 

 sem Zwecke versuche man, ob man dem unter dem zweifachen Integralzeichen stehenden 

 Aggregate folgende Form geben kann : 



a (I 



-f 2). (^^ 4- @. (?^)-+ g. r?3-l . dy.rlx 



^ dx J "^ 



und wenn man diese Form mit dem in Gleichung VII unter dem dop])eltcn Integralzeiclien 

 befindlichen Aggregate vergleicht, so bekommt man 



IX) 21 = A , X) S = - , XI) @ = — ^ , 



AG— B2 ^^ A.fE — ij)— B.rn — <o) 



XII) 2)=--^- , XIII) 6= 'l^_^, '- 



und 



XIV) (f — 3- — 4^ — ^) . ( A C ~ W) = A (E — /;)•-' — 2 B (E — ry) (D — o;) -f C . (D — mf 



' dx dy ' ^ / \ 1 1 



Man hat also nur sechs Bestimmungsgleiohungen, während doch die acht Stücke 31, S, 

 (5,5),®,S,:y,ö> zu bestimmen wären, so dass zwei derselben willkürlich sind. 



Weil aber diese sechs Bestimmungsgleichungen nichts Widersprechendes enthalten, 

 so ist die in VIII aufgestellte Form in der That möglich. Führt man jetzt bei den 



d (ri.dz-) d (w.fjjä) . , 



durchlaufenden Differentialen -^^ und -^ die betreffenden Integrationen aus, so geht 



dy 



Gleichung VII über in 



