AniüObdtmg des sogenannten Variationscalcut s auf zweifache und. dreifache Integrale. 27 



a 

 a ^ 



a 6 



Schaut inan wieder auf die sechs Gleichungen IX — XIV zurück; so sieht man, dass 

 die in der neuen Form befindlichen drei Stücke 



31 , 33 , 5) 



vollständig durch Stücke bestimmt sind, welche sich schon in der ursprünglichen Form VII 

 befinden; und somit darf man die oben besprochene Willkürlichkeit auf diese drei nicht an- 

 wenden, sondern nur auf zwei der folgenden fünf: 



Man benütze nun diese Willkürlichkeit vorerst dazu, dass man % zu Null werden lässt; so 

 reduciren sieh die Gleichungen XIV und XV bezüglich auf 



und 



/ 



XVII) 0"'?7=y[(Ia;)„,„.<?-2;„,, + 37„,,.«X,, — (Ia.-)a.,„-'?'2a,,, — '?a,_v-0''Sa,J -dij 

 a 



+ßiil/)..ß-^''^-..ß+(^.,ß-^^l,ß" ßl/).. * -«'Sx,* — ö^x.4 • ^K.i] ■ dx 



a 



« /' « « 



rrr,ddz d (Sz . , d dz , T 



In den beiden letzten Gleichungen befindet sich aber immer noch ein willkürliches Stück. 

 Nimmt man nun r] als willkürlich, so kann man rj eine solche Function von y sein lassen, dass 

 die nach y identische Gleichung- 



[Ix)^ , , • Ö 's« , „ + V]^ , „ . f)zl , ^ — (I a'), ,, . ff'z^ , ,, — ^a , , ■ O'3'f _,, = () 



d rj 



Stattfindet. Weil also für rj eine Function von nur y gesetzt worden ist, so ist -^^0; und 

 Gleichung XVI reducirt sich auf 



(F— ^).(AC — B')=A.(E — 7y)- — 2ß(E — 3y)(D — w) + C.(1) — w)' 



Wenn man jetzt diese Partialdifferentialgleichung, welche nur noch den einzigen Diffe- 

 rentialquotient -^ enthält, integrirt ; so bekommt man für ü> einen mit x ,y ^ ti{x) versehenen 

 Ausdruck, wo 7r{x) eine willkürliche Function von x ist. Kann man sodann 7r(a;) so ver- 

 wenden, dass die nach x identische Gleichung 



