28 G. W. Strauch. 



stattfindet; so redueirt sich Gleicliung XVII auf das Doppelintegi'al, welches, wenn man für 

 3( , 53 , S , Ü) , ® die Ausdrücke einsetzt, nunmehr folgende Form annimmt: 



m, d OZ A d OZ T\ /.i 



AC— B2 t <ij« AfE — r,)— BfD- 



r)zy\.dy 



dx 



dx ' A C - B^ 



AC — B-' 



Aus dieser Form erkennt man, dass der Zeichenstand des d' U nur von A und 



A 



abhangt, d. h. wenn man dem ?/ alle von b bis ß stetig nebeneinander liegenden Werthe, und 

 bei jedem einzelnen dieser Werthe des ?/ auch dem x alle von a bis a stetig nebeneinander 

 liegenden Werthe beilegt; und wenn dabei 



1) die beiden Ausdrücke A und beständig positiv bleiben, so ist auch d- U posi- 

 tiv: wenn aber dabei 



2) die beiden A 

 Nun kann man das Aggregat 



2) die beiden Ausdrücke A und — beständig negativ bleiben, so ist auch ^y'-f^negativ. 



,d dz-i d t^z d Sz ^d 'Js 2 



^ \ dx ) ^ dx dy ^ y dy ' 



ohneweiters auf die Form 



. i-*^./^^ , B '^,.''~^- AC-B2 ('^■''^^\ 

 \ dy A ■ dx J "^ Ä 'y. dx ) 



bringen; und so ist man zu folgender höchst beachtenswerthen Regel gelangt: 



„Wenn der für d' U sich ergebende Ausdruck positiv oder negativ sein soll bei jeder 

 „beliebigen für os zu wählenden Function; so muss das Aggregat positiv oder negativ 

 „bleiben, während man dem ?/ alle von b bis ß stetig nebeneinander liegenden Werthe. und 

 „bei jedem einzelnen dieser Werthe des i/ auch dem x alle von a bis a stetig nebeneinander 

 „liegenden Werthe beilegt". 



Dabei beachte man nocli folgenden Ausnahmsfall: Wenn J), d. h. wenn (AC— B^) bei 

 einigen oder gar bei allen von a bis a und von b bisy? liegenden Werthen des x und des i/ zu 

 Null wird, so bleibt die eben ausgesprochene Regel noch immer anwendbar: sie verliert je- 

 doch alle Anwendbai'keit, sobald ein einziger der sechs Ausdrücke 



F . E , I) , C , B , A 



bei irgend einem der genannten Werthe des x und des ?/ Null in den Nenner bekommt. 



Jetzt ist man auf dem Punkte, der Gränzengleichung zu genügen; und zu diesem Ende 

 sollen folgende vier Fälle vorgenommen werden. 



I 



§. U). 



zfall. Wenn für die G 

 auch die Ausdrücke 



und 



Erster Gränzfall. Wenn für die Gräuzen keine Vorschriften gemacht sind, so haben 



o z^ 



«X., 



