Amoendung des sogenannten Variationsccdcul s auf zweifache und drefaclie Integrale. 29 



durchaus keiner Bedingung zu genügen. Hier sind die bei ^ aufgestellten vier Ausdrücke 

 dem Werthe nach ganz unabhängig von einander, obgleich sie alle aus einer und derselben 

 Form dz^,i herstammen. Ebenso sind die bei O aufgestellten AÜer Ausdrücke dem Werthe 

 nach ganz unabhängig von einander, obgleich sie alle aus einer und derselben Form o^s^,„ 

 herstammen. Und so fort. 



Die Gränzengleichung muss also, damit ihr genügt werde, in folgende vier einzelne 

 zerfallen : 



1) (Ix)„,, = . 2) (Lt),„ = , 3) {ly\^, = , 4) (Ij/),,, = 0. 



In den Gleichungen 1) und 2) ist x constant; sie sind aber nach y identisch, und müssen, 

 wenn sie Differentialgleichungen sind, als totale Differentialgleichungen nach?/ behandelt werden. 



In den Gleichungen 3) und 4) ist ?/ constant; sie sind aber nach x identisch, und müssen, 

 wenn sie Differentialgleichungen sind, als totale Differentialgleichungen nach cc behandelt Averden. 



Erst wenn man die für z gefundene allgemeine Function in letztere vier Gleichun- 

 gen substituirt und hierauf integrirt hat, können die sich ergebenden vier Integralgleichun- 

 gen bei Specialisirung der (in z eingegangenen) willkürlichen Stücke benützt werden. 



Der in XVII für das Prüfungsmittel aufgestellte Ausdruck reducirt sich jetzt auf 



ß a 



^' ^ =. /('?« , V ■ ^^'a , , - ^a , ,• i>zl , J . % + / (OJ, , ,3 . dzi , ,5 — O), , , . <?S^ , ,) . C?« 

 b a 



/*/r .d dz d dz .„ .d,dz .„1 



Nun ist von den zwei Stücken r^ und w eines willkürlich. Lässt mau also r^ kurzweg 

 zu Null werden, so ist auch 



d T/ 



und Gleichung XVI reducirt sich auf: 



(F— ^).(AC — B^) = A.E^ — 2B.E.(D — a>) + C.(D — ft))'^ 



Wenn man jetzt diese Partialdifferentialgleichung integrirt, so bekommt man 



10 = ^[x ,g , - {x)] 



wo ^[x,g,7r{x)] eine ganz bestimmte Zusammensetzung der drei Bestandtheile x,g und 7t{x) 

 ist, während /T (x) eine willkürliche Function von x bedeutet. Damit aber bei letzterem, für 

 0-' f/" hergestellten. Ausdrucke nur das zweifache Integral zurückbleibe, muss noch die nach x 

 identische Gleichung 



oder vielmehr 



$ f [^ ,/5, TT (X)] . dzl,, _ |[;r , 6 , TT (X-)] . oX^, = 



stattfinden, und dieser Gleichung kann man auf zweierlei Weise zu genügen suchen. Man 

 sehe nämlich zu, ob 



1. für Tr{x) eine solche Function des einzigen Veränderlichen x möglich ist, dass 

 ^[x,y ,7:{x)] schon identisch zu Null wird. Wenn aber dieses nicht angeht, so sehe man zu, ob 



