A^iwcndung des sogenamtteii l'm/atioii^ca/cu/'s auf sioofache uiid d leif'ache Integnde. 31 



Sobald eine einzige dieser vier Gleichungen einen Widerspruch in sich trägt, ist unser zweiter 

 Fall, wie er hier gestellt ist, unmöglich. Sollten aber die vier vorgeschriebenen Ausdrücke 



f'(y) , \"{y) , f"'(^) , f""(^) 



Stücke in sich enthalten, die noch willkürlich sind; so müssen letztere sich so specialisiren 

 lassen, dass die genannten vier Gleichungen (Nr. 9 — 12) erfüllt werden. 



Der für das Prüfungsmittel aufgestellte allgemeine Ausdruck XVII reducirt sich jetzt 

 von selbst auf das zweifache Integral, so dass es diesmal gar nicht nöthig ist, sich um die 

 Functionen rj und w zu bekümmern, und dass es ohneweiters von 51 und 3) abhängt, ob ein 

 Maximimi oder Minimum stattfindet. 



§■ 12. 

 Dritter G ranz fall. Wenn für die Gränzen die zwei Gleichungen 



vorgeschrieben sind; so findet zwischen ws,, „ und ö'.i„,„, und ebenso zwischen oz^^ und 

 liz^^^^ eine Abhängigkeit Statt. Man behandle dz^^„ , dz^, , r?'.s,_„ und r?'-2,,j als abhängig, 

 und soikUm-c sie ab; so bekonnnt man Gleichungen von folg'ender Form: 



15) rM.,„ = %' . dz,^„ , 16) <?'^3,,, = ^V . rf ^„,„ + n . «X,„ 



17) .;.s„,, = w . .;,3,,, , 18) d'z^,, = w ■ <^^..ß + Q" • ^^..ß- 



Eliminii-t man jetzt f)z^„ und oz^. ,,, so nimmt die Gränzengleichung \l folgende 

 Form an : 



ß " 



Diese Gleichung zerfällt aber ohneweiters in folgende zwei: 



19) (I:r)^,^_(I:^-),_„.^;V=.0 , 20) (ly),,,- (I^),. , „ . r = 0. 



Man hat also abermals vier Gleichungen (13,14,19,20), welche bei Specialisirung der 

 durch Integration der Hauptgleichung eingegangenen willkürlichen Stücke mitbenutzt wer- 

 den müssen. 



Eliminirt man jetzt die abhängigen Stücke auch aus XVII, und beachtet man die Glei- 

 chungen 19) und 20); so bleibt nur 



XIX; rf U=f{y!^,„ -rj^„,,. r -- {I^).,„ ■ G') ■ <i^i,,-dy 



a li 



a *'i 



Um nun diesen Ausdruck so einzurichten, dass nur das zweifache Integral zurückbleibt, 

 lasse man vorerst folgende (ileichunff 



