32 G. W. Strauch. 



'y«..v-'?a,.-r-(I^-)a,.-O' = 



Stattfinden. Dadurch bestimmt sich tj als Function des einzigen Veränderliehen ?/, und somit 



d Tj 



ist-^ = 0. Gleichuno- XVI reducirt sich also auf 

 (1.11 ° 



(F— ^).(AC — ß-) = A.(E — r;)^' — 2B(E — 3y)(D — w) + C.(D— w)^ 



Durch Integration dieser PartialdifFerentialgleichung ergibt sich für w ein mit x,v/. 

 Ttix) versehener Ausdruck, wo tt i^x) eine willkürliche Function von x ist, die man so benützen 

 kann, dass die nach x identische Gleichung 



co.,ß-oy^. .F''-(Ii/).,,.Q" = 



stattfindet. Der für das Prüfungsmittel aufgestellte Ausdruck XIX reducirt sich also auf das 

 doppelte Integral, und es hangt abermals von 51 und © ab, ob ein Maximum oder Minimum 

 oder keines von beiden stattfindet. 



§. 13. 

 Vierter Gränzfall. Wenn für die Gränzen vier Gleichungen, z. B. 



vorgeschrieben sind; so hat man eigentlich wieder den zweiten Fall, d. h. es finden wieder 

 die in §.11 aufgestellten Gleichungen 9 ™if^ (^ Statt. Dabei fällt die Gränzengleichung wie- 

 der von selbst Aveg, und das Prüfungsmittel reducirt sich ohneweiters auf das zweifaclie In- 

 tegral, so dass man sich diesmal ebenso, wie in §. 11, um die Bedeutung von rj und w nicht zu 

 bekümmern braucht. 



S- 



14. 



Zusatz. Nicht immer müssen in dem Ausdrucke IFdie beiden Difl'erentialquotienten 

 -^— und -^ zugleich vorkommen, sondern es kann auch einer derselben fehlen. Z. B. 



d. dy » ' ^^^ 



Es sei TFein reeller, mit den Bestandtheilen x^y .,z, ~ versehener, Ausdruck; und mau 

 sucht für z eine solche Function von x und ?/, dass das Integral 



a fl 



XX) ü=f fw. dy . dx 



wo b und ß keine Functionen von x sind, ein Maximum oder Minimum wird. 

 Hier bekommt man die Hauptgleichung 



d,W d^{lx) 



dz dx 



und die Gränzengleichung 



XXII) J[(Ia;)„,, . oX.. — (I^)a,,, • «X, J] .dy = 



