Anwenchuig den sogenannten Variaüowicalcid s auf zweifache und dre fache Integrale. 33 

 Für das Prüfuiiii^sinittel bekommt man zunächst 



ö' 



XXIII) 'J--' U^ f[{ [x)„ . „ . f^z„ , „ - (I:r), . , . r;--'3, , „] . dp 



wo man sich aber zu denken hat, dass die durch die Gränzbedingungen bereits specialisirte 

 Function s = ^(x,g) eingefülirt sei in die durch C,E,F repräsentirten Ausdrücke. 



Letzterer Gleichung kann man aber, nach dem Vorgange des §. 9 verfahrend, auch fol- 



gende Form geben : 



XXIV) >r U-^ j [(Ix), , , . (7' 3, , „ + y;, . „ . dzl , „ — (Ix), _ „ . (?".2, , „ — y/a , , • ö'-a . J • (iy 



Vergleicht man XXIII mit XXIV, so bekommt man 



XXV) S) === C , XXVI) ® = ^^ 



und 



XXVII) (F-g-:;^).(;^(E--,)^ 



Man hat also diesmal nur drei Bestimmungsgleichungen, während doch die vier Stücke 



zu bestimmen wären, so dass eines derselben willkürlich ist. Schaut man aber wieder auf 

 (ileichung XXIV zurück, so sieht man, dass es auch diesmal am zweckmässigsten ist, das 

 Stück % als willkürlich zu behandeln, und zu Null werden zu lassen. Dabei reduciren sieh die 

 Gleichungen XXIV und XXVII auf 



XXVIII) <?'f^-=y[(Ix)„,,.r;^s„,, + o^„,,.^.s^,, — (la;),,,.^'^,,, — 3y.,„.^s;,J.J^ 



aß , 



UlK 



XXIX) (F-^).C.--.(E-.,)^ 



Wenn man nun diese Partialditferentialgieichung integrirt, so bekommt man für rj einen 

 mit ■x,y^iz{y) versehenen Ausdruck, wo T.{y) eine willkürliche Function von «/ist, die noch 

 so verwendet werden kann, dass sich Gleichung XXVIII auf das zweifache Integral zurück- 

 zieht. Man erkennt also, dass es diesmal von J) = C allein abhangt, ob ein Maximum oder 

 Minimum oder keines von beiden stattfindet. 



I>eiik.scliriften der iiKitliem-naturn . C'l. XVI. Bd. Abli.iiidl. v. Nichtüiityl. ® 



