Anwendung des sogenannten Variationsccdcid s auf zweifache und. dre fache Integrale. 35 



d^Sz d^Ji:: d d-iz d' >P z 



oz , — — , , -— - , 0-z , — — , , — - , etc. 



dx ' ^ dii- ^ ' dx ' ' dy' ' 



als Functionen, wo das x und das y nur explicit vorkommt, zu betracliten sind; und desshalb 

 kann man die Gleichung II auch auf folgende Weise darstellen: 



III) STJ=JJ\ 



d^d^X{llxy).8z] 





+ 



1 d^' . d i 



Kd {11 X') d a\xv)\ d dz ^ 



dx 



d if 



,d^w d^(ix) c/„(i2/) j;(ii=.'2) d^d,^(\ixy) d:i(nf-) . ) 



^ dz dx dy dx- ' dx . dy dy- ' ) '' 



Führt man jetzt bei den durchlaufenden Differentialen die betreffenden Integrationen 

 aus. so gibt sich weiter 



IV) dlJ={\lxy),^.^. ö\s,,^,— (IIa:?/),,, . (;3„,,— (II «?/).,„,. r7 .3,,^, + (Hxi/),., . r?s,,„ 



r'v , dmx^) d (II .»•«), , d dz. 



diWiß) d,(llxy). . djz. -1 



-l(i-)-^s ^. .»X.,-(II.%,„.(^ ].ä,, 



Adjlly^ d (11 xy). . dJz. 



:i 



d (II»'-) d (llxy) ^ , d dz . ~i 



,7,/ L c?2 dx dy dx'^ dx.dy dy^ J 



Daraus folgt die Hauptgleiehung 



d,W djlx) d^ily) 4(IIa^-') dß,,{nxy) dlilly'') 



V) ^ =i= — .=L^=. 4- + -f ., = 



' d'~ dx dy dx^ dx . dy dy 



und die Gränzenffleichuno; 



VI) {llxy)^^^.dz,^^ — (IIa-?/),,, . öX.4 — (IIx?/),,^ . <?s,_^ -f (IIa;?/),,, . dz,^, 



, d (11x2) (i (IIa;«), ' , dSz , T 



r\ , d (lly'i) d (Uxy)^ rdj^^ 



a * 



, d (lly^) diUxy). fddz "i 



