Anwendung des sogenannten Variationscalcul's auf zweifache und die fache Integrale. 37 



1 r d^dz , d Sz -i d Hz d ßz d i'iz , d fi z ^.,'\ 



+ ^.d^ \co.r)£' + 2co'.dz^ +w".{ -^— ) f 2/1 . ,)z ^^ + 2/x' ^^ . ^^ + /i" ■ -^ V 



' «.y " L dx \ d.v } ' ' du ' '^ dx dy ' ' \ du > \ 



, d'iiz d^d'U d-dz d i) z d fi z ^i 



+ 91 . ^ + 5r -^~ + 91" -V + 9('" -f- + 91"" ^ + 91 ^')z] 



V dy- dx.dy dx- dy d.v ' 

 , d d Sz d' S z d 3z d dz ,., 



V dx.dy dx'^ dy dx ) 

 , rf- nz d dz d iJz -i 



V dx- dy dx i 



d\fiz d,dz 



, d iJz d dz ,.) 



' V dy ' dx ' 1 



d<Jz , 



Setzt man jetzt die beiden Aggregate VII und VIII einander gleich, so bekommt man 

 einundzwanzig Bestimmungsgleichungen , während vier unddreissig unbestimmte 

 Stücke, nämlich 



und 



91 , 91' , 91" , 91'" , 91"" , 91 , « , «' , «" , «'" , W" . (5 . g' , (§" , (§'" 



2) , 33' , J)" , ® , ®' , g 



vorhanden sind, so dass dreizehn derselben willkürlieh bleiben. 



Weil aber unsere einundzwanzig Bestimmungsgleichungen nichts Widersprechen- 

 des enthalten, so ist es in der That möglieh , dem Aggregate VII die Form VIII zu 

 geben. 



Es können aber die in der neuen Form VIII enthaltenen sechs Stücke 



9t , 91' , 91" , S , 5B' , @ 



vollständig bestimmt werden durch solche Stücke, welche sich in der ursprünglichen Form 

 VII befinden; und desshalb darf man die oben besprochene Willkürlichkeit auf diese sechs 

 Stücke nicht anwenden. 



Man benütze aber diese Willkürlichkeit dazu, dass man vorerst folgende sechs Stücke 



D , 2)' , 3)" , ® , ®' , g 



zu Null werden lässt. Dann hat man immer noch die zweiuiidzwanzig 



A , rj , Tj' , r/' , s , s , s" , CO , ü)' , w" , ß , /i' , /i" 



und 



9t'" , 2t"" , 91'"" , S3" , S'" , S3"" , e' , e" , (5'" 



von welchen noch sieben willkürlich sind; und wenn man jetzt bei den durchlaufenden Dif- 

 ferentialen die betreffenden Integrationen ausführt, so bekommt man für das Prüfungsmittel 

 im Allgemeinen folgenden Ausdruck : 



