Anwendung des sogenannten VariationscalcuV s auf zweifache und drefaclie Integrale. 39 



d. h. wenn man dem y alle von b bis ß stetig nebeneinander liegenden Werthe, und bei 

 jedem einzelnen dieser Werthe des y auch dem x alle von a bis a stetig nebeneinander 

 liegenden Werthe beilegt; und wenn dabei: 



1. jedes der drei Stücke Sl , 33 , (5 positiv bleibt, so ist auch d' ?7 positiv; wenn aber dabei 



2. jedes der drei Stücke 31 , 33 , @ negativ bleibt, so ist auch d~ ü negativ. 

 Bestimmt man 51 , B , © wirklich, so bekommt man 



X) 21 = F, , XIj 35 = 

 und 



Ei-Fi-E^ 



XII) e= 



Dl .El .F1 + 2D2.D3.E2-D, . E|-Ei .D^-Fi. D^ 



E] . Fl — Ej 



Diese drei Ausdrücke sind aber ganz die nemlichen, welche sich ergeben, wenn man 

 das Aggregat 



D,.(^)+2D,.^.^+2D..^..^ 



(d d 5z \'' d .d, äz d'ßz i d'Sz \~ 



auf folgende Form 



bringt; und daraus folgt die höchst beachtenswerthe Eegel: 



„Wenn der für d^ U sich ergebende Ausdruck positiv oder negativ sein soll, so muss das 

 „Aggregat positiv oder negativ bleiben, während man dem y alle von b bis ß stetig neben- 

 „einander liegenden A¥erthe, und bei jedem einzelnen dieser Werthe des y auch dem x alle 

 „von a bis a stetig neben einander liegenden Werthe beilegt." 



Dabei beachte man noch den Ausnahmsfall : Wenn von den zwei Ausdrücken 33 und S 

 entweder einer oder auch beide zugleich bei einigen oder auch bei allen den genannten 

 Werthen des x und des y zu Null werden, so ist vorstehende Eegel noch immer anwendbar; 

 sie verliert jedoch alle Anwendbarkeit, sobald ein einziger der einundzwanzig Ausdrücke 



Ai , A, , A3 , A, , A, , A« , Bi , B, . B,, , Bi , B, 

 Gl , C, , C3 , C, , Dl , D, , D3 , El , E, , Fl 



bei irgend einem der genannten Werthe des x und des y Null in den Nenner bekommt. 



Nun ist man auf dem Punkte, der Gränzengleichung zu genügen; und zu diesem Endo 

 sollen folgende drei Fälle vorgenommen werden. 



§.17. 

 Erster Gränzfall. Wenn für die Gränzen keine Vorschriften gemacht sind, so haben 

 auch die Ausdrücke 



^ ^ cl^ d^ ,d^^.U 



\ d^ ) ' i d, J, ' y di, )^ s ' ^ dij }^ , 



