Amoendung des sogenannten Variationscalcul s auf zweifache und dreifache Integrale. 43 



§. 20. 

 Zusatz. Nicht immer müssen h\ dem Ausdrucke TFdie fünf Differentialquotienten — , 



dzd^zddzd^z 



-^ , — ^ , " , --— zueieich enthalten sein , sondern es kann auch einer oder mehrere 



dy ' dxi ' dx.dy ^ d,ß ° ' 



derselben fehlen. Das Verfahren, besonders das bei Herstellung des Prüfungsmittels , ändert 

 sieh alsdann ein wenig, wie an folgenden zwei Beispielen gezeigt werden mag. 



d^z d^z 



Erstes Beispiel. Es sei TFein reeller, mit den Bestandtheilen x , y , z , — -— , — — , 



d- z 



-^ versehener Ausdruck, und man sucht für z eine solche Function von x und _?/, dass das 



d X- 



Inteoral 



Ü = l'fw. dy . dx 



=JJw.dy 



ein Maximum oder Minimum wird. Hier hat man bei Herstellung des Prüfungsmittels statt 

 des Doppelintegrals VII diesmal nur folgendes 



r'^r^i d äz d dz dlSz 



XIT)JJ \ A,..V + 2A,.«^..^ + ^^^■<^^-~ ^- 2 A..<;3.— 



-JrJs 2 (i ,Jj d <U dßz d'jz 



+ B,.(^)+äB,.^.-L^ + 2B..^.^ 



+ C,.(^'H3C..'^/-^+D,.(*;)'!.'''/-(x 



^ ^ \ dy ) ~ ^ dy d.vi ~ ' V rf.,--' ) \ '' 



und dieses muss man auf die Form 



, d^dz d dz djz -2 



. d dz dßz '^ 



+ ® • (^ + ®' • ''^^ )" + 3 ■ 03' j . dy . dx 



bringen. Wenn man aber XIV mit XV vergleicht, so bekommt man nur z e h n Bestimmungs- 

 gleichungen, während vierzehn unbestimmte Stücke, nämlich 



und 



e , e' , 6" , e'" , 3) , 3)' , 3)" , ® , ®' , % 



vorhanden sind, so dass vier derselben willkürlich bleiben. 



Es können aber die in der neuen Form XV befindlichen drei Stücke 



@ , g' , 3) 



